2015年8月25日追記：
その後、Amazon API Gatewayのリファレンスが改定され、クエリ文字列全体を取得方法が示されました。ただし、形式（フォーマット）は微妙です。
詳しくはAPI Gateway Mapping Template Reference - Amazon API Gatewayを参照のこと。
Amazon API Gatewayで受け取ったGETリクエストのクエリ文字列全体をAWS Lambdaの関数に渡したい、と思って調査してみましたが、調査時点（2015年7月15日）では残念ながら手段が見つかりませんでした。
公式フォーラム（AWS Developer Forums: Amazon API Gateway）でも関連する投稿が多くありますが、残念ながら解決策は見当たりませんでした。今後の機能追加に期待。
参考にしたサイト
- Day One with the Amazon API Gateway | Hiram Software Blog
- AWS Developer Forums: Documentation for $input
- AWS Developer Forums: Accessing header and query parameters in Lambda functions
- AWS Developer Forums: Access method in mapping templates
- AWS Developer Forums: Lambda + POST Request: Get Query Strings and Request Body w/o Models
- AWS Developer Forums: Passing a single query string param from a GET request to Lambda function