はじめに

　Greville（グレヴィル）の平滑化とは、系列データの平滑化アルゴリズムの一種である。例えば、年齢別の死亡率$q_x$は、本来は何らかの規則的な法則に従っていると考えられる。しかしながら、実際にデータを用いて計測すると、サンプルサイズが有限であることなどの理由で、推計値には偶然的変動が含まれることになる。その偶然的変動をできる限り取り除く手段として、平滑化は有用である。実際、Grevilleの平滑化は、（簡易・完全）生命表や生保標準生命表の作成に用いられている。

・生命表の概念・作成方法（厚労省）
・標準生命表２０１８の作成過程(アクチュアリー会)

Grevilleの平滑化の手続き

　系列データ$y_{0},y_1,\cdots,y_{N-1}$が与えられているとする。まず、外挿値$y_{-1},\cdots,y_{-m}$と$y_{N},\cdots,y_{N+m}$を、それぞれ以下の式で計算する。

\begin{align}
y_{i} &=  \sum_{t=1}^m a_t y_{i+t}\\
y_{i} &=  \sum_{t=1}^m a_t y_{i-t}
\end{align}

　そして、$i=0,1,\cdots,m-1$に対して$\tilde y_i$を以下の式で計算する

\tilde y _i = \sum_{t=-m}^m L_ty_{i+t}

　このようにして得られた$\tilde y_i$が平滑化されたデータである。

　上記で用いた係数$a_t$と$L_t$はいくつかのタイプがあり、それぞれ「$r$次$(2m+1)$公式」と呼ばれる。この他にも$k$で表されるパラメータがある（下記「係数の特徴付け」を参照。）。主に$r=3,k=3$が使われるので、それらの係数を以下に掲載しておく。

[Grevilleの平滑化の係数表]

◎ 3次5項式 ($k=3,r=3,m=2$)

t	0	1	2
$L_{t}$	0.559440	0.293706	-0.073426
$a_t$	-	2.000000	-1.000000

◎ 3次7項式 ($k=3,r=3,m=3$)

t	0	1	2	3
$L_t$	0.412588	0.293706	0.058741	-0.058741
$a_t$	-	1.618034	-0.236068	-0.381966

◎ 3次9項式 ($k=3,r=3,m=4$)

t	0	1	2	3	4
$L_t$	0.331140	0.266557	0.118470	-0.009873	-0.040724
$a_t$	-	1.352613	0.114696	-0.287231	-0.180078

◎ 3次11項式 ($k=3,r=3,m=5$)

t	0	1	2	3	4	5
$L_t$	0.277944	0.238693	0.141268	0.035723	-0.026792	-0.027864
$a_t$	-	1.160811	0.281079	-0.140968	-0.204545	-0.096377

◎ 3次13項式 ($k=3,r=3,m=6$)

t	0	1	2	3	4	5	6
$L_t$	0.240058	0.214337	0.147356	0.065492	0.000000	-0.027864	-0.019350
$a_t$	-	1.016301	0.360880	-0.021625	-0.160909	-0.138330	-0.056317

（※1）負のインデックスは$L_{-t}=L_t$である。
（※2）Greville(1979)より転記した。

サンプルコード(Python)

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

#サンプルデータ作成
N = 100
y = 1+np.sin(np.arange(N)/N)+0.05*np.sin(200*np.arange(N)/N)

#Greville補正のパラメータ設定 3次9項式 (k=3,r=3,m=4)
m = 4
a = np.array([0.000000,1.352613,0.114696,-0.287231,-0.180078])
L = np.array([
    -0.040724,
    -0.009873,
    0.11847,
    0.266557,
    0.33114,
    0.266557,
    0.11847,
    -0.009873,
    -0.040724
    ])

#外挿値の計算
y_L = np.zeros(m)
y_R = np.zeros(m)
y_ext = np.hstack([y_L,y,y_R])

for t in range(m):
    y_ext[m-t-1] = np.sum(a*y_ext[m-t-1:m-t-1+m+1])
    y_ext[m+N+t] = np.sum(np.flip(a)*y_ext[m+N+t-(m+1):m+N+t])

#平滑化処理
v = np.zeros(y_ext.shape)
for t in range(m,m+N):
    v[t] = np.sum(L*y_ext[t-m:t+m+1])
v = v[m:m+N]

#確認
plt.plot(y)
plt.plot(v)

係数の特徴付け

　係数$a_t$と$L_t$の値はどのようにして得られたのであろうか。
　まず、$L_t$については、高々$r$次多項式に従う系列を保存する（＝さらなる平滑化をしない）という制約条件のもとで、平滑後の系列の$k$階微分が平均的に最小化されるように選んでいる。
　また、外挿値を計算するための$a_t$は、簡単に説明するのは難しいが、$L_t$による平滑化が「最も自然に」作用するような外挿が選んでいることになる。
　これらの詳細については、次回の記事で解説することにする。

参考文献

[1979] T.N.E. Greville. Moving-weighted-average smoothing extended to the extremities of tha data, MRC Technical Summary Report # 2025. Mathematics Research Center, University of Wisconsin.

Grevilleの平滑化について

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