Level 1.
Q1. 和$a$,差が$b$となる2数はいくつですか?
A1. 答え: $\frac{a+b}{2},\frac{a-b}{2}$
解き方:
このような2数を$x,y$とおく. ただし,$x>y$とする.
このとき,
$x+y=a$
$x-y=b$
が成り立つから, これを解いて
$x=\frac{a+b}{2},y=\frac{a-b}{2}$
となるから, $\frac{a+b}{2},\frac{a-b}{2}$です.
Q2. アラビア数字690801にはまるく囲まれている部分は何個ありますか? 例えば80は3個です.
A2. 6個
Q3. テキスト"35=183"の好きな部分に+,-, ×, ÷のうち好きな演算子を2つ加えて等式が成り立つようにしてください。
A3. $3×5=18-3$
Q4. ジョーカーを含まない52枚のトランプカードがあります. トランプのカードのスートの得点をハートは1, スペードは2, ダイヤは3, クラブは4とします. トランプのカードの得点はスートの得点の数とトランプの表す数の積です. 52枚のトランプの得点の和はいくつですか?
A4. 910点
解き方:
ハートの得点の和: $1×1+1×2+\cdots +1×13=1×(1+2+\cdots +13)$
スペードの得点の和: $2×1+2×2+\cdots +2×13=2×(1+2+\cdots +13)$
ダイヤの得点の和: $3×1+3×2+\cdots +3×13=3×(1+2+\cdots +13)$
クラブの得点の和: $4×1+4×2+\cdots +4×13=4×(1+2+\cdots +13)$
なので,これらの和は
$$\begin{align}(1+2+3+4)×(1+2+\cdots +13) =10×\left(\frac{1}{2}×13×(1+13)\right)=10×91=910 \end{align}$$
となる.
Level 2.
Q1. 半分に折ったとき比率が変わらない長方形をすべて求めてください.
A1. $1:\sqrt{2}$の長方形のみである.
解き方:
長方形の長さを$a$,$b$とする. ただし, $a>b>0$とする.
[1] 短辺を折った場合
$a$,$\frac{b}{2}$となるが,$a:b=a:\frac{b}{2}$を満たす$a,b$は存在せず比率が変わらない条件を満たせない.
[2] 長辺を折った場合
長方形の辺の長さは$\frac{a}{2}$と$b$となる.
$\rm{(i)}$ $\frac{a}{2}\geq b$のとき
$a:b=\frac{a}{2}:b$を満たす$a,b$は存在せず比率が変わらない条件を満たせない.
$\rm{(ii)}$ $\frac{a}{2}< b$のとき
$a:b=b:\frac{a}{2}$を計算して$a^2=2b^2$である.
$a>0,b>0$より$a=\sqrt{2}b$すなわち$a:b=\sqrt{2}:1$
以上から$1:\sqrt{2}$の長方形のみである.
Q2. 長さ1の針金の2点をランダムに選びます。選んだ点で針金を曲げたとき三角形が成立する確率は?
A2. $\frac{1}{4}$
Q3. 各桁がすべて素数の正の整数を「よい数」と呼ぶ。2乗すると5桁の「よい数」なる3桁の「よい数」をすべて求めてください.
A3. 235
Q4. 5種類のフィギュアが入っているガチャは1/5の確率でどのフィギュアも出てきます.ガチャは1回100円です.すべて揃えるのに必要なお金の期待値はいくらですか？
A4. $\frac{3425}{3}円$
Q5. ディズニランドに来るお客さんは1グループあたり平均何人かを知りたいです.入場ゲート1人ずつに「今日何人で来ましたか?」と聞いて100人に調査した結果,
・20人のお客さんは2人組で来た.
・30人のお客さんは3人組で来た.
・50人のお客さんは5人組で来た.
と答えました. 1グループあたり平均何人と予想できますか?
A5. $\frac{10}{3}$
Q6. 「山口とは友達だ。私は山口と岡山に行ったことがある。」を英訳してください。
Q7. A. 熱硬化性プラスチックはかたく、熱や薬品に強いことから、調理器具などに使用されている。
B. 熱硬化性プラスチックは、調理器具などに使用することから、かたく、熱や薬品に強い。
A,Bの文の表す内容の意味は論理的に一致するか一致しないか答えてください。