微分をPythonを使って学習してみる

はじめに

学生時代、数学が苦手になったのはいつでしょうか？

早い人なら変数、定数、関数辺りが出てきたとき、そして次に多いのが微分・積分です。

それはなぜなのか？

それは「解くまでに覚えることが多すぎる」、そして「解法や計算手順に特化し過ぎていて、本質的な意味や活用法が見えにくい」からではないでしょうか。

Pythonを使うことで、人間が本当に理解すべき「概念」と機械に任せるべき「計算」を分離し、微分の本質をより直感的に学べます。

DevContainerで環境構築する

FROM python:3.13-slim-bookworm

# Set environment variables
ENV PYTHONDONTWRITEBYTECODE=1
ENV PYTHONUNBUFFERED=1
ENV PYTHONPATH=/app

# Set work directory
WORKDIR /app

# Install system dependencies
RUN apt-get update && apt-get install -y --no-install-recommends \
    build-essential \
    curl \
    git \
    && apt-get clean \
    && rm -rf /var/lib/apt/lists/*

# apt-get update
RUN apt-get update

# Upgrade pip
RUN pip install --upgrade pip

RUN pip install sympy

# Copy project
COPY . /app

# Command to run when container starts
CMD ["python", "-m", "venv", "--help"] 

簡単な微分をやってみる

関数 $f(x) = 3x^2 - 4x + 5$ について、$x = 2$ における導関数 $f'(2)$ の値を求めよ。

解き方を考える

• まず関数 $f(x)$ を微分して、導関数 $f'(x)$ を求める
• 次に導関数に $x = 2$ を代入して $f'(2)$ の値を計算する

Pythonでやること

from sympy import symbols, diff

# xを数式で使うxとして定義する
x = symbols('x')

# 微分をする関数を定義する
f = 3*x**2 - 4*x + 5

# 微分する
df = diff(f, x)
print(f"f'(x) = {df}")  # 微分した関数を表示

# 微分した関数に値を代入する
f_prime_at_x_2 = df.subs(x, 2)

# 答えを出力する
print(f"f'(2) = {f_prime_at_x_2}")

ここから見る人間が覚える必要のないこと

• 導関数を使った時の微分計算（$f'(x) = 6x - 4$ という変換）
• 微分した関数へ値を代入するときの計算

数学の授業では計算過程に重きを置き過ぎています。微分の本質は「関数の振る舞いを理解する」「変化率を求める」ことにあります。今回でいえば「指定した点の傾き」を求めることが目的であり、その計算過程を手動でやることには本質的な価値はありません。

もう少し難しい問題

次の関数について、$x = 3$ における導関数 $f'(3)$ の値を求めよう:

$$f(x) = \frac{2x^3 - 5x^2 + 4x - 7}{x^2 + 3x - 2} + \ln(e^x + 2) - \sin(x^2)$$

解説

この問題は手計算では非常に複雑です。なぜなら:

1. 第1項は「有理関数」なので、商の微分公式 $(u/v)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を使う必要がある
2. 第2項は対数関数と指数関数の合成
3. 第3項は三角関数と二次関数の合成

それぞれの項を微分すると:

• 分数関数: $(u/v)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を適用
• 対数関数: $(\ln(g(x)))' = \frac{g'(x)}{g(x)}$ より、$(\ln(e^x + 2))' = \frac{e^x}{e^x + 2}$
• 三角関数: 合成関数の微分法により、$(\sin(x^2))' = \cos(x^2) \cdot (x^2)' = 2x\cos(x^2)$

しかし、これらの計算は本質的ではありません。Pythonで微分を行い、結果を確認しましょう。

Pythonで計算してみる

from sympy import symbols, diff, sin, log, exp, simplify

# 変数の定義
x = symbols('x')

# 関数の定義
f = (2*x**3 - 5*x**2 + 4*x - 7)/(x**2 + 3*x - 2) + log(exp(x) + 2) - sin(x**2)

# 微分
df = diff(f, x)

# 微分式を整理して表示
df_simplified = simplify(df)
print(f"f'(x) = {df_simplified}")

# x = 3 での値
df_at_3 = df.subs(x, 3)
print(f"f'(3) = {df_at_3}")
print(f"f'(3) ≈ {float(df_at_3)}")  # 数値近似も表示

人間のやるべきこと・やるべきでないこと

やるべきこと:

• 微分の概念や応用を理解すること
• 関数の性質を理解すること
• 結果の解釈と応用方法を考えること

やるべきでないこと:

• 複雑な微分の計算を手動で行うこと
• 大量の公式を暗記すること

Pythonのコードからわかる通り、複雑な微分でもコンピュータを使えば簡単に計算できます。これにより、計算に時間を取られず、微分の概念や応用に集中できるのです。

まとめ：微分を学ぶ本当の楽しさ

微分で多くの学生が苦労するのって、計算や公式暗記に時間取られすぎて、「これって実際何の役に立つの？」ってところまで辿り着けないからじゃないでしょうか。

Pythonみたいなツールを使うと、こんな良いことがあります：

1. 本質が見えてくる - 計算の苦労から解放されて、「あ、微分って要するに変化の仕方を調べるものなんだ！」って腑に落ちる
2. 実際に使えるスキルが身につく - 今どきの科学や技術の世界では、パソコンで計算するのが当たり前
3. 難しい問題も怖くなくなる - 手計算じゃ挫折しちゃうような複雑な問題も、Pythonなら「やってみよう！」って気になれる

数学の授業って「どう計算するか」ばかりじゃなくて、「これ使うとどんなことができるんだろう？」「結果から何がわかるの？」みたいな好奇心を大事にしたいですよね。Pythonは単なる計算ツールじゃなくて、数学の面白さと実用性を一気に体験できる強い味方なんです！