ポアソン分布の確率変数0〜∞の総和が1になることを証明してみた

#ポアソン分布の確率変数0〜∞の総和が1になることを証明してみた
##1.ポアソン分布とは
ポアソン分布は以下の式で表される。
$$P(X=x)=\frac{\lambda^x}{x!}e^{-\lambda}$$
意味としては，単位時間あたり，平均的に$\lambda$回生じる事象がある場合に，それが単位時間あたりに
$x$回生じる確率を表している。

(例)平均的に年に2回「今日はイケてるね」と言われることが分かっている場合，年に3回言われる
　　確率は，

\begin{align}
P(X=3)&=\frac{2^3}{3!}e^{-2}\\
\\
&=0.1804
\end{align}

##2.ポアソン分布の確率変数0〜∞の総和
ポアソン分布の確率変数0〜∞の総和が1となることを証明する。

求めたいものは，

\begin{align}
\sum_{x=0}^{\infty} \frac{\lambda^x}{x!}e^{-\lambda}&= e^{-\lambda} + \lambda e^{-\lambda} + \lambda^2 e^{-\lambda} \cdots\\
\\
&=e^{-\lambda}\sum_{x=0}^{\infty} \frac{\lambda^x}{x!}
\end{align}

ここで，

e^{\lambda}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\lambda^n}{n!}

であるから，

\begin{align}
\sum_{x=0}^{\infty} \frac{\lambda^x}{x!}e^{-\lambda}
&=e^{-\lambda}\sum_{x=0}^{\infty} \frac{\lambda^x}{x!}\\
\\
&=\frac{\sum_{x=0}^{\infty} \frac{\lambda^x}{x!}}{\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\lambda^n}{n!}}\\
\\
&=1
\end{align}

となる。