はじめに
『機械学習のエッセンス(http://isbn.sbcr.jp/93965/)』のPythonサンプルをJuliaで書き換えてみる。（第04章04疎行列）の続きです。
逆行列を求める
逆行列はinv関数で求めることができます。
\begin{pmatrix}
3 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 1 \\
0 & -1 & 1
\end{pmatrix}
julia> a = [3 1 1; 1 2 1; 0 -1 1]
3×3 Array{Int64,2}:
3 1 1
1 2 1
0 -1 1
julia> inv(a)
3×3 Array{Float64,2}:
0.428571 -0.285714 -0.142857
-0.142857 0.428571 -0.285714
-0.142857 0.428571 0.714286
"\"演算子を使う。（1次方程式を解く）
\begin{pmatrix}
3 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 1 \\
0 & -1 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
3
\end{pmatrix}
Juliaでは\（バックスラッシュ）演算子で1次方程式が解けるようです。便利ですね。
julia> a = [3 1 1; 1 2 1; 0 -1 1]
3×3 Array{Int64,2}:
3 1 1
1 2 1
0 -1 1
julia> b = [1, 2, 3]
3-element Array{Int64,1}:
1
2
3
julia> a \ b
3-element Array{Float64,1}:
-0.5714285714285714
-0.14285714285714302
2.857142857142857
LU分解により連立方程式を解く
JuliaにはLinearAlgebraモジュールにluという関数があります。
https://docs.julialang.org/en/v1/stdlib/LinearAlgebra/index.html#LinearAlgebra.lu
日本語訳はこちら。
https://code.i-harness.com/ja/docs/julia~1.0/stdlib/linearalgebra/index#LinearAlgebra.lu
julia> using LinearAlgebra
julia> l, u, p = lu(a)
LU{Float64,Array{Float64,2}}
L factor:
3×3 Array{Float64,2}:
1.0 0.0 0.0
0.333333 1.0 0.0
0.0 -0.6 1.0
U factor:
3×3 Array{Float64,2}:
3.0 1.0 1.0
0.0 1.66667 0.666667
0.0 0.0 1.4
julia> u \ (l \ b)
3-element Array{Float64,1}:
-0.5714285714285714
-0.14285714285714302
2.857142857142857
参考
JuliaにはLinearAlgebra.factorizeという関数があって、与えられた行列に対して最適な分解をしてくれるようです。
https://docs.julialang.org/en/v1/stdlib/LinearAlgebra/index.html#LinearAlgebra.factorize
日本語訳はこちら。
https://code.i-harness.com/ja/docs/julia~1.0/stdlib/linearalgebra/index#LinearAlgebra.factorize
上記のaに対してfactorize関数を使ってみるとLU分解してくれました。
julia> a = [3 1 1; 1 2 1; 0 -1 1]
3×3 Array{Int64,2}:
3 1 1
1 2 1
0 -1 1
julia> using LinearAlgebra
julia> factorize(a)
LU{Float64,Array{Float64,2}}
L factor:
3×3 Array{Float64,2}:
1.0 0.0 0.0
0.333333 1.0 0.0
0.0 -0.6 1.0
U factor:
3×3 Array{Float64,2}:
3.0 1.0 1.0
0.0 1.66667 0.666667
0.0 0.0 1.4