service iptables start し、「ファイアウォールルールを適用中（英語環境では Applying firewall rules）」で止まって動かなくなってしまいました。調べても同様の現象が出てこなかったので書いておきます。
止まるときに /var/log/message に下記のような出力がされていました。
/var/log/message
Dec 28 16:21:52 (サーバー名) kernel: OUTPUT DROPPED: IN= OUT=eth0 SRC=(サーバーIPアドレス) DST=(自宅で契約しているプロバイダのIPアドレス) LEN=212 TOS=0x10 PREC=0x00 TTL=64 ID=28597 DF PROTO=TCP SPT=(SSHDのポート番号) DPT=43382 WINDOW=266 RES=0x00 ACK PSH URGP=0
よくわかってないんですが、処理が完了したことを知らせるパケットが飛ぶんですかね？ それを iptables で DROP してしまっているのが原因ぽいです。
SSHD のポート番号から出て行くパケットを許可すれば良さそうですが、今回はサーバから OUTPUT するパケットを ACCEPT することで解決しました。
# iptables -P OUTPUT ACCEPT