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FEMで材料モデルを構築する際に利用する式のまとめ

*本記事は未完成です

初めに

本記事はFEMで解析を行う際、材料モデルを構築するのに必要な知識とその流れをまとめたものです。
*初学者に優しくない記事となっております。

基本理論

応力テンソル$σ$は以下のように表せる

σ=\begin{bmatrix}
σ_{xx} & σ_{xy} & σ_{xz} \\
σ_{yx} & σ_{yy} & σ_{yz} \\
σ_{zx} & σ_{zy} & σ_{zz}  
\end{bmatrix}

ひずみテンソル$ε$も同様にして、

ε=\begin{bmatrix}
ε_{xx} & ε_{xy} & ε_{xz} \\
ε_{yx} & ε_{yy} & ε_{yz} \\
ε_{zx} & ε_{zy} & ε_{zz}  
\end{bmatrix}

のように表せる。
応力テンソル、ひずみテンソルは対称なので、フォークト記法を用いて以下のように表現することができる。

\tilde{σ} = (σ_{xx},σ_{yy},σ_{zz},σ_{xy},σ_{yz},σ_{xz})^T \\
\tilde{ε} = (ε_{xx},ε_{yy},ε_{zz},ε_{xy},ε_{yz},ε_{xz})^T

以下、本記事で応力テンソル、ひずみテンソルを記述する際は上記のフォークト記法を用いることとする。

フックの法則

三次元における弾性テンソルを$D^e$とすると、これは以下のように表せる。

D^e=\begin{bmatrix}
λ+2G & λ & λ & 0 & 0 & 0 \\
λ & λ+2G & λ & 0 & 0 & 0 \\
λ & λ & λ+2G & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & G & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & G & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & G \\
\end{bmatrix}\\
λ=\frac{Eν}{(1-2ν)(1+ν)}\\
G=\frac{E}{2(1+ν)}

ここで、$Eはヤング率、νはポアソン比$を表す。
上記の弾性テンソルを用いると、応力増分と弾性ひずみ増分は以下の関係にあると言える。

dσ = D^e:dε^e

塑性共役性

dW=\bar{σ}(σ)d\bar{ε}^p=σ:dε^p

降伏関数

f(σ)-\bar{σ}(\bar{ε}^p)=0

流れ則

dε^p=dλ\frac{∂g}{∂σ}

$g$はポテンシャル関数である。これが降伏関数$f$と等しくなるとき、上記の式は

dε^p=dλ\frac{∂f}{∂σ}

となり、これを関連流れ則という。逆に、ポテンシャル関数と降伏関数が等しくない場合、非関連流れ則となる。

硬化則

モデル構築の例

YLD2004を降伏関数として用いた場合

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