はじめに
今回は指数関数と対数関数をセットで学び直しすることにしました。
学校で習う時、この２つの関数は別々に順次習います。ですが、学び直しをする時点では両方合わせて勉強した方が理解もより深まると考えました。
また、対数関数には「底」という概念が出てきて、私にとってはこれが「とっつきにくい」原因になっていました。ですが「底」という概念も指数関数の文脈であつかうことで、両方の関数で「底が２」、「底が１０」、「底がe」の場合も考えることで理解漏れが少ないような学習が出来ると感じました。
記事の構成
シリーズのパターンに従い、Pythonのコードとメインのコンテンツは以下のGithubページにあります。
底が２の指数関数と対数関数
まずはとりあえず、指数関数と対数関数を見比べてみます。底はプログラミングやソフトウェア開発で馴染みのある２進数と同じ、２にしました。
指数関数（青）は傾きがしだいに急になる様子が分かります。逆に対数関数は傾きがしだいに緩やかになっています。
緑色の直線は $y=x$ で、指数関数と対数関数が対称であることを理解するためのヒントとして置いてあります。
指数関数と対数関数が逆関数である
指数関数と対数関数をセットで理解するのが効果的な理由は、それらが互いに逆関数になっているからです。別の言葉で言うと、$y=x$に関して対称です。
グラフでは座標の$ｘ$と$ｙ$の値をひっくり返した「逆点」が、それぞれの関数のグラフのどの位置にあるかが分かります。
| 色 | 指数関数 $2^x$ | 対数関数 $log_2(x)$ |
|---|---|---|
| 紫 | (0, 1) | (1, 0) |
| 黄 | (1, 2) | (2, 1) |
| エンジ | (2, 4) | (4, 2) |
この３つ点のペアを頭の中のグラフに書くことが出来れば、指数関数と対数関数の大まかな特徴とその関係を把握できたと言えるでしょう。
底が２，１０，e（ネイピア数）の場合を比べる
最後に底の違いと２つの関数の違いを見比べてみます。
底が大きい１０は指数関数と対数関数ともに「黄色」で描かれています。底が小さい２のグラフと比べると、どちらも極端な性質を示しているのが分かります。つまり底の値が大きいほどより極端に増える（対数関数の場合、飽和してします）ことが分かります。
緑色は自然指数と自然対数で、$e$が底です。全ての底の指数関数と対数関数は、ネイピア数を用いた自然対数$ln(x)$で表すことが出来るので、この緑色を標準として底の値の違いを可視化することが出来そうです。