はじめに

以下の記事を読んだら楽しそうだったので、私も夏休みの自由研究をしてみました。

意味もなく、多重根号式を作って遊ぶだけです。

ラマヌジャンというと、なんとなく円周率なイメージがありますが、今回は関係ない話しかしません。

ラマヌジャンの 3 の公式

正式に何と呼ぶのかわかりませんが、結果が $3$ となるラマヌジャンの無限多重根号式は以下の通りです。

\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{\cdots}}}}}=3

一般化

まずはこれを一般化します。$(n-1)(n+1)$ について式変形します。

\begin{align}
(n-1)(n+1) &= n^2 - 1 \notag \\
n^2 &= 1 + (n-1)(n+1) \notag \\
n &= \sqrt{1 + (n-1)(n+1)} \notag \\
\end{align}

この最後の式に具体的な値を代入してみます。

\begin{align}
3 &= \sqrt{1 + 2 \times 4} \tag{n = 3} \\
4 &= \sqrt{1 + 3 \times 5} \tag{n = 4} \\
5 &= \sqrt{1 + 4 \times 6} \tag{n = 5} \\
6 &= \sqrt{1 + 5 \times 7} \tag{n = 6} \\
\end{align}

根号の中の最後の項目 $(n+1)$ に対して再帰的に同じ式を適用すれば（末尾再帰呼び出し？）、最初の式になります。

3 = \sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{\cdots}}}}}

数式が奇麗かどうかを置いておけば、$3$ 以外の値でも同じように無限多重根号式に置き換えられますね。

例えば $4$ の例。

4 = \sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{1+6\sqrt{\cdots}}}}} \tag{n=4}

同様に $5$ の例。

5 = \sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{1+6\sqrt{1+7\sqrt{\cdots}}}}} \tag{n=5}

$6$ 以上も同様です。

6 = \sqrt{1+5\sqrt{1+6\sqrt{1+7\sqrt{1+8\sqrt{\cdots}}}}} \tag{n=6}

もちろん $3$ よりも小さい $2$ も表せます。

2 = \sqrt{1+1\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{\cdots}}}}} \tag{n=2}

同じように $1$ も表せますが、途中の係数が $0$ になってしまうので、あまり意味がないかも。

1 = \sqrt{1+0\sqrt{1+1\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{\cdots}}}}} \tag{n=1}

応用１

例えば異なる例として $(n-2)(n+2)$ をもとに無限多重根号式を作ることもできます。

\begin{align}
(n-2)(n+2) &= n^2 - 4 \notag \\
n^2 &= 4 + (n-2)(n+2) \notag \\
n &= \sqrt{ 4 + (n-2)(n+2)} \notag \\
\end{align}

実際に値を代入して末尾再帰してみると、以下のようになります。

\begin{align}
3 &= \sqrt{4+1\sqrt{4+3\sqrt{4+5\sqrt{4+7\sqrt{\cdots}}}}} \tag{n = 3} \\
4 &= \sqrt{4+2\sqrt{4+4\sqrt{4+6\sqrt{4+8\sqrt{\cdots}}}}} \tag{n = 4} \\
5 &= \sqrt{4+3\sqrt{4+5\sqrt{4+7\sqrt{4+9\sqrt{\cdots}}}}} \tag{n = 5} \\
\end{align}

応用２

逆に基本の式の根号の中の $(n-1)$ に対して末尾再帰することもできます。
この場合には、有限の式になります。

根号の中の項目の順番を入れ替えて

n = \sqrt{1 + (n+1)(n-1)}

具体的な値を入れます。

\begin{align}
0 &= \sqrt{1 + 1 \times -1} \tag{n = 0} \\
1 &= \sqrt{1 + 2 \times 0} \tag{n = 1} \\
2 &= \sqrt{1 + 3 \times 1} \tag{n = 2} \\
3 &= \sqrt{1 + 4 \times 2} \tag{n = 3} \\
4 &= \sqrt{1 + 5 \times 3} \tag{n = 4} \\
\end{align}

これを $n=4$ を起点として末尾再帰します。

4 = \sqrt{1+5\sqrt{1+4\sqrt{1+3\sqrt{1+2\sqrt{1 + 1 \times -1}}}}}

$n = 1$ で終わらせることもできますが $n = 0$ まで展開したほうが奇麗な気がしました。

$n=3$ を起点にするなら、こんな感じ。

3 = \sqrt{1+4\sqrt{1+3\sqrt{1+2\sqrt{1 + 1 \times -1}}}}

ラマヌジャンの 1/2 の公式

次に、結果が $\frac{1}{2}$ となるラマヌジャンの無限多重根号式についても同じようにやってみます。式は以下の通りです。

\sqrt{1-\sqrt{1-\frac{1}{2}\sqrt{1-\frac{1}{4}\sqrt{1-\frac{1}{8}\sqrt{\cdots}}}}}=\frac{1}{2}

同様に一般化してみます。

まずは以下のような式変形をします。

\begin{align}
(n-1)^2 &= n^2 - 2n + 1 \notag \\
\frac{(n-1)^2}{n^2} &= 1 - \frac{2n - 1}{n^2} \notag \\
\frac{n-1}{n} &= \sqrt{1 - \frac{2}{n} \cdot \frac{2n - 1}{2n}} \notag \\
\end{align}

つまり、$(n-1)^2$ とその展開式の両辺を $n^2$ で割って、$\frac{n-1}{n}$ の形で末尾再帰ができるように少し式を整理したものです。

具体的な値 $n=2, 4, 8, 16$ を入れます。

\begin{align}
\frac{1}{2} &= \sqrt{1 - \frac{2}{2} \times \frac{3}{4}} \tag{n = 2} \\
\frac{3}{4} &= \sqrt{1 - \frac{2}{4} \times \frac{7}{8}} \tag{n = 4} \\
\frac{7}{8} &= \sqrt{1 - \frac{2}{8} \times \frac{15}{16}} \tag{n = 8} \\
\frac{15}{16} &= \sqrt{1 - \frac{2}{16} \times \frac{31}{32}} \tag{n = 16} \\
\end{align}

約分して末尾再帰させれば、最初の式になります。

\frac{1}{2} = \sqrt{1-\sqrt{1-\frac{1}{2}\sqrt{1-\frac{1}{4}\sqrt{1-\frac{1}{8}\sqrt{\cdots}}}}}

応用

基本の $(n-1)^2$ ではなく、例えば $(n+1)^2$ をもとに無限多重根号を作ってみます。

\begin{align}
(n+1)^2 &= n^2 + 2n + 1 \notag \\
\frac{(n+1)^2}{n^2} &= 1 + \frac{2n + 1}{n^2} \notag \\
(\frac{n+1}{n})^2 &= 1 + \frac{2}{n} \cdot \frac{2n + 1}{2n} \notag \\
\frac{n+1}{n} &= \sqrt{1 + \frac{2}{n} \cdot \frac{2n + 1}{2n}} \notag \\
\end{align}

具体的な値 $n=1, 2, 4, 8$ を代入してみます。

\begin{align}
\frac{2}{1} &= \sqrt{1 + \frac{2}{1} \times \frac{3}{2}} \tag{n = 1} \\
\frac{3}{2} &= \sqrt{1 + \frac{2}{2} \times \frac{5}{4}} \tag{n = 2} \\
\frac{5}{4} &= \sqrt{1 + \frac{2}{4} \times \frac{9}{8}} \tag{n = 4} \\
\frac{9}{8} &= \sqrt{1 + \frac{2}{8} \times \frac{15}{16}} \tag{n = 8} \\
\end{align}

$n=1$ をもとに無限多重根号にしてみます。

2 = \sqrt{1+2\sqrt{1+\sqrt{1+\frac{1}{2}\sqrt{1+\frac{1}{4}\sqrt{\cdots}}}}}

$n=1$ 以外の整数だと、結果が分数（あるいは小数）になってしまいますね。
そこで、$n=\frac{1}{2}=0.5$ でやってみると

\begin{align}
\frac{1.5}{0.5} &= \sqrt{1 + \frac{2}{0.5} \times \frac{2}{1}} \notag \\
3 &= \sqrt{1 + 4\sqrt{1+2\sqrt{1+\sqrt{1+\frac{1}{2}\sqrt{\cdots}}}}} \notag \\
\end{align}

ラマヌジャンの -2 の公式

結果が $-2$ となるラマヌジャンの無限多重根号式もやってみます。式は以下の通りです。

\sqrt[3]{-6+\sqrt[3]{-6+\sqrt[3]{-6+\sqrt[3]{-6+\sqrt[3]{\cdots}}}}} = -2

同様に一般化してみます。

まずは以下のような式変形をします。

\begin{align}
(n^2 - 1)n &= n^3 - n  \notag \\
n^3 &= (n^2 - 1)n + n  \notag \\
n &= \sqrt[3]{(n^2 - 1)n + n} \notag \\
\end{align}

具体的な値を入れます。

\begin{align}
-2 &= \sqrt[3]{-6 + (-2)} \tag{n = -2} \\
   &= \sqrt[3]{-6 + \sqrt[3]{-6 + \sqrt[3]{-6 + \sqrt[3]{\cdots}}}} \notag \\
2 &= \sqrt[3]{6 + 2} \tag{n = 2} \\
  &= \sqrt[3]{6 + \sqrt[3]{6 + \sqrt[3]{6 + \sqrt[3]{\cdots}}}} \notag \\
3 &= \sqrt[3]{24 + 3} \tag{n = 3} \\
  &= \sqrt[3]{24 + \sqrt[3]{24 + \sqrt[3]{24 + \sqrt[3]{\cdots}}}} \notag \\
\end{align}

末尾の項目に対して、自己再帰呼び出しをすれば元の式になります。

値はなんでもよさそうな感じですね。

応用１

同じ $(n^2-1)n$ を少し違う形で再帰呼び出しして見ます。

\begin{align}
(n^2-1)n &= n^3 - n \notag \\
n^3 &= n + (n^2 - 1)n \notag \\
n &= \sqrt[3]{n + (n^2 - 1)n} \notag \\
\end{align}

先ほどは、単独の $n$ の項目について再帰呼び出しをしましたが、$(n^2-1)n$ の $n$ を再帰呼び出しすることも可能です。
（実際には $n^2-1$ を対象に再帰することも可能ですが、わかりにくいと思うので……）

\begin{align}
3 &= \sqrt[3]{3 + 8 \times 3} \notag \\
  &= \sqrt[3]{3 + 8\sqrt[3]{3 + 8\sqrt[3]{3 + 8\sqrt[3]{3 + 8\sqrt[3]{\cdots}}}}} \notag \\
\end{align}

応用２

基本では3乗/3乗根を使っていますが、2乗や4乗などにしても問題ないので、いろいろと作れそうです。

とりあえず $(n-1)n$ をベースにやってみます。

\begin{align}
(n-1)n &= n^2 - n  \notag \\
n^2 &= (n - 1)n + n  \notag \\
n &= \sqrt{(n - 1)n + n} \notag \\
\end{align}

$n = 3$ を代入して、末尾再帰してみます。

\begin{align}
3 &= \sqrt{6 + 3} \notag \\
  &= \sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{\cdots}}}} \notag \\
\end{align}

応用１の１つ目の $n$ で再帰する版もやってみます。

\begin{align}
(n - 1)n &= n^2 - n  \notag \\
n^2 &= n + (n - 1)n  \notag \\
n &= \sqrt{n + (n - 1)n} \notag \\
\end{align}

$n = 3$ を代入して、末尾再帰してみます。

\begin{align}
3 &= \sqrt{3 + 2 \times 3} \notag \\
  &= \sqrt{3 + 2\sqrt{3 + 2\sqrt{3 + 2\sqrt{\cdots}}}} \notag \\
\end{align}

もちろん $(n-1)$ を末尾再帰して有限版を作ってみることもできますね。

応用３

少し式をかえて $(n+1)n$ をベースにやってみます。

\begin{align}
(n + 1)n &= n^2 + n  \notag \\
n^2 &= (n + 1)n - n  \notag \\
n &= \sqrt{(n + 1)n - n} \notag \\
\end{align}

3パターンの末尾再帰ができそうです。

$n = 3$ を代入して、末尾再帰してみます。

\begin{align}
3 &= \sqrt{4 \times 3 - 3} \notag \\
  &= \sqrt{12 - \sqrt{12 - \sqrt{12 - \sqrt{\cdots}}}} \tag{パターン1} \\
  &= \sqrt{- 3 + 4 \times 3 } \notag \\
  &= \sqrt{- 3 + 4 \sqrt{- 3 + 4 \sqrt{- 3 + 4 \sqrt{\cdots} } } } \tag{パターン2} \\
  &= \sqrt{- 3 + 3 \times 4 } \notag \\
  &= \sqrt{- 3 + 3 \sqrt{- 4 + 4 \sqrt{- 5 + 5 \sqrt{\cdots} } } } \tag{パターン3} \\
\end{align}

最後に

単純に無限多重根号にするだけなら結構簡単にできることがわかりました。

ただし、ラマヌジャンの公式のように見た目が奇麗な無限多重根号式をつくるのは結構難しいと感じました。

\begin{align}
3 &= \sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{\cdots}}}}} \notag \\
  &= \sqrt{4+1\sqrt{4+3\sqrt{4+5\sqrt{4+7\sqrt{\cdots}}}}} \notag \\
  &= \sqrt{1+4\sqrt{1+3\sqrt{1+2\sqrt{1 + 1 \times -1}}}} \notag \\
  &= \sqrt{1 + 4\sqrt{1+2\sqrt{1+\sqrt{1+\frac{1}{2}\sqrt{\cdots}}}}} \notag \\
  &= \sqrt[3]{24 + \sqrt[3]{24 + \sqrt[3]{24 + \sqrt[3]{\cdots}}}} \notag \\
  &= \sqrt[3]{3 + 8\sqrt[3]{3 + 8\sqrt[3]{3 + 8\sqrt[3]{3 + 8\sqrt[3]{\cdots}}}}} \notag \\
  &= \sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{\cdots}}}} \notag \\
  &= \sqrt{3 + 2\sqrt{3 + 2\sqrt{3 + 2\sqrt{\cdots}}}} \notag \\
  &= \sqrt{12 - \sqrt{12 - \sqrt{12 - \sqrt{\cdots}}}} \notag \\
  &= \sqrt{- 3 + 4 \sqrt{- 3 + 4 \sqrt{- 3 + 4 \sqrt{\cdots} } } } \notag \\
  &= \sqrt{- 3 + 3 \sqrt{- 4 + 4 \sqrt{- 5 + 5 \sqrt{\cdots} } } } \notag \\
\end{align}

基本的に $n$ には整数や分数（小数）を使っていますが、虚数単位 $i$ や複素数、無理数を入れても大丈夫な式もあるので、もっと面白い式もできるかもしれませんね。