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[数学メモ] 高次方程式の解の公式(一般解法)

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断り書き


  • メモです

  • 一般的に高次方程式といえば三次以上のことを指すと思いますが、とりあえず二次も。


二次方程式

ax^2 + bx + c = 0 \tag{1}


二次方程式の解の公式

x = \frac{-b \pm \sqrt{ b^2 - 4ac } }{ 2a }


三次方程式

ax^3 + bx^2 + cx + d = 0


三次方程式の解法

まず三次の係数の無い式に変形します。

\begin{align}

A &= \frac{b}{a}\\
B &= \frac{c}{a}\\
C &= \frac{d}{a}\\
\end{align}

x^3 + Ax^2 + Bx + C = 0 \tag{2}

以下のように定義した場合

\begin{align}

P &= B - \frac{A^2}{3}\\
Q &= \frac{2A^3}{27} - \frac{AB}{3} + C\\
\omega &= \frac{ -1 + i\sqrt{3} }{2}\\
M &= \sqrt[3]{ -\frac{Q}{2} + \sqrt{ \frac{Q^2}{4} + \frac{P^3}{27} } }\\
N &= \sqrt[3]{ -\frac{Q}{2} - \sqrt{ \frac{Q^2}{4} + \frac{P^3}{27} } }\\
\end{align}

3つの解 $x_0, x_1, x_2$ は

\begin{align}

x_0 &= M + N - \frac{A}{3}\\
x_1 &= \omega M + \omega^2N - \frac{A}{3}\\
x_2 &= \omega^2M + \omega N - \frac{A}{3}\\
\end{align}

つまり

x_n = \omega^n M + \omega^{3-n}N - \frac{A}{3}

となる。


三次方程式の解法のポイント

式(2)に $x = y - \frac{A}{3}$ を代入すると

y^3 + Py + Q = 0

と変形できる。

この方程式の解 $y_0, y_1, y_2$ は

\begin{align}

y_0 &= M + N\\
y_1 &= \omega M + \omega^2N\\
y_2 &= \omega^2M + \omega N\\
\end{align}

となる。

また、 $\omega ^3 = 1$ です。


三次方程式の解法の歴史

三次方程式の解の公式は、 1535 年イタリアの科学者タルターリアが発見した。 しかし、自分の発見を秘密にして、誰にも解けない難問を解く事によって 自分の才能を誇示していた(これは、この時代の風潮らしい)。

同じイタリアの数学者カルダーノは、甘言を弄してタルターリアから 三次方程式の解法を聞き出し、それを発表してしまった。

この事件がきっかけで、 「科学の発見は発見者個人に帰属するものではなく、全ての人が共有するもの」という意識、 「科学の発見の栄誉は、発見者ではなく、発表者に与えられる」というルールが つくられた、らしい(参考文献によると)。

上記の解法は、現在でも「カルダーノの解法」として知られている。


四次方程式

x^4 + Ax^3 + Bx^2 + Cx + D = 0 \tag{3}


四次方程式の解法

式(3)を変形する。

(x^2 + \frac{A}{2}x + \lambda)^2 - \Bigl( x^2(\frac{A^2}{4} + 2\lambda - B) + x(A\lambda - C) + \lambda^2 - D \Bigr) = 0  \tag{3-1}

この式は、カッコを展開すると $\lambda$ が消え、先ほどの式と同じになる。

そのため、 $\lambda$ はどんな値であっても問題無い。

そこで

(A\lambda - C)^2 = (\lambda^2 - D)(A^2 + 8\lambda - 4B) \tag{3-2}

を満たす $\lambda$ を選ぶことにする。

この式は $\lambda$ の三次方程式になっているので、三次方程式の解の公式(一般解法)で解く事が出来る。

$\lambda$ が式(3-2) を満たすならば、式(3-1) の後半は完全平方式となり、 $\alpha, \beta$ を以下のようにおけば

\begin{align}

\alpha^2 &= (\frac{A^2}{4} + 2\lambda - B)\\
2\alpha\beta &= (A\lambda - C)\\
\beta^2 &= \lambda^2 - D\\
\end{align}

つまり

(\alpha x + \beta)^2 = \alpha^2 x^2 + 2\alpha\beta x + \beta^2

となり、式(3-1) は

(x^2 + \frac{A}{2}x + \lambda)^2 - (\alpha x + \beta)^2 = 0\\

\Leftrightarrow \quad (x^2 + \frac{A}{2}x + \lambda)^2 = (\alpha x + \beta)^2\\

と変形できる。 これは

\begin{align}

x^2 + \frac{A}{2}x + \lambda &= \alpha x + \beta\\
x^2 + \frac{A}{2}x + \lambda &= - ( \alpha x + \beta)
\end{align}

の、2つの二次方程式と同じ事になる。


四次方程式の解法の歴史

イタリアの数学者カルダーノは 1545 年、4次方程式の一般解法を完成させた。

ちなみに上の解法は、カルダーノの解法では無いようだ。 また、他にも何通りかの解法が存在する。


五次方程式の解法

ノルウェーの数学者アーベルが 1824 年、 五次以上の高次方程式の解の公式は存在しない事を証明した。


参考文献


  • 「共立 数学公式」共立出版

  • 「アイザック・アシモフの科学と発見の年表」丸善株式会社