結論

personal access tokenで作ってbundler configに加えます。

やりかた

Gemfileには形式はgitでプロトコルはhttpsを指定します。
(github形式だとgitプロトコルになってしまったので、その対応です)

Gemfile

gem 'private', git: 'https://github.com/myoan/private.git'

Githubでpersonal access tokenを作ります。
(tokenをどこかにメモしてください。)

bundle configでbundlerに設定を加えます。

-> % bundle config https://github.com/myoan/private.git myoan:<PERSONAL_ACCESS_TOKEN>
-> % cat ~/.bundle/config
---
BUNDLE_BUILD__NOKOGIRI: "--use-system-libraries"
BUNDLE_BUILD__MYSQL2: "--local --with-opt-lib=/usr/local/opt/openssl/lib --with-opt-include=-I/usr/local/opt/openssl/include"
BUNDLE_HTTPS://GITHUB__COM/MYOAN/PRIVATES__GIT/: "myoan:<PERSONAL_ACCESS_TOKEN>"

この状態でbundle installを実行。
うまくいったら成功です！

参照