クロス集計表の関連の強さを測る

クラマーの V 係数

クロス集計表で離散変数間での独立性を検定するためにカイ二乗検定をする話は以前に説明しました。

カイ二乗値 χ^2 が大きいほど 2 変数の関連は強いと考えられます。しかし χ^2 値はクロス集計表の大きさやケース数に依存しますし、最大値も異なります。また、行・列の数が異なるクロス集計表では比較が難しいという面もあります。

クラマーの V 係数 では χ^2 を次式で変換し、どんなクロス集計表でもまったく関連の無い状態を 0 、完全な関連のある状態を 1 とした値を導出します。

\Phi_c = \sqrt{\frac {\chi^2} {N(k-1)}}

このとき N は総度数、 k はクロス集計表の行数か列数の小さいほうです。

総度数を使うことでケース数の影響を補正、列数と行数の小さいほうを取ることで行列数の影響を補正します。また元がカイ二乗値なので平方根を取るわけですね。

コードで計算する

こちらに参考になるコードがあるので引用します。

import numpy as np

def det2x2(A, v=False):
    if v:  print('compute 2 x 2 det of')
    if v:  print(A)
    assert A.shape == (2,2)
    return A[0][0]*A[1][1] - A[0][1]*A[1][0]

def det3x3(A):
    print('compute 3 x 3 det of')
    print(A)
    assert A.shape == (3,3)
    a,b,c = A[0]
    c1 = a * det2x2(A[1:3,[1,2]])
    c2 = b * det2x2(A[1:3,[0,2]])
    c3 = c * det2x2(A[1:3,[0,1]])
    return c1 - c2 + c3

def solve(A):
    print('solve')
    print(A, '\n')
    assert A.shape == (3,4)
    D = det3x3(A[:,:3])
    print('D = ', D, '\n')
    if D == 0:
        print('no solution')
        return
    Dx = det3x3(A[:,[3,1,2]])
    print('Dx = ', Dx, '\n')
    Dy = det3x3(A[:,[0,3,2]])
    print('Dy = ', Dy, '\n')
    Dz = det3x3(A[:,[0,1,3]])
    print('Dz = ', Dz, '\n')
    return Dx*1.0/D, Dy*1.0/D, Dz*1.0/D

def check(A,x,y,z):
    print('check')
    for i,r in enumerate(A):
        print('row', i, '=', r)
        pL = list()
        for coeff,var in zip(r[:3],(x,y,z)):
            c = str(round(coeff,2))
            v = str(round(var,2))
            pL.append(c + '*' + v)
        print(' + '.join(pL), end=' ')
        print(' =', r[0]*x + r[1]*y + r[2]*z, '\n')

実行するとこうなります。

import numpy as np
import cramer

def run_cramer():
    L = [2, 3, 0, 5,
         1, 1, 1, 3,
         2,-1, 3, 7]
    A = np.array(L)
    A.shape = (3,4)
    result = cramer.solve(A)
    if result:
        x,y,z = result
        print('solution')
        print('x =', x)
        print('y =', y)
        print('z =', z, '\n')
        cramer.check(A,x,y,z)

run_cramer()
# =>
# solve
# [[ 2  3  0  5]
#  [ 1  1  1  3]
#  [ 2 -1  3  7]] 
# 
# compute 3 x 3 det of
# [[ 2  3  0]
#  [ 1  1  1]
#  [ 2 -1  3]]
# D =  5 
# 
# compute 3 x 3 det of
# [[ 5  3  0]
#  [ 3  1  1]
#  [ 7 -1  3]]
# Dx =  14 
# 
# compute 3 x 3 det of
# [[2 5 0]
#  [1 3 1]
#  [2 7 3]]
# Dy =  -1 
# 
# compute 3 x 3 det of
# [[ 2  3  5]
#  [ 1  1  3]
#  [ 2 -1  7]]
# Dz =  2 
# 
# solution
# x = 2.8
# y = -0.2
# z = 0.4 
# 
# check
# row 0 = [2 3 0 5]
# 2*2.8 + 3*-0.2 + 0*0.4  = 5.0 
# 
# row 1 = [1 1 1 3]
# 1*2.8 + 1*-0.2 + 1*0.4  = 3.0 
# 
# row 2 = [ 2 -1  3  7]
# 2*2.8 + -1*-0.2 + 3*0.4  = 7.0 
# 

また引用元の記事にもありますが、こちらにオンライン計算機もあります。