コーシー・シュワルツの不等式(テスト投稿)

コーシー・シュワルツの不等式

　コーシー・シュワルツの不等式は下記のような形をしている。

( \sum_{k=1}^n a_k b_k )^2 \leq
( \sum_{k=1}^n a_k^2 ) ( \sum_{k=1}^n b_k^2 )

これを証明してみよう。まず下三角集合$S_L$, 対角集合$S_D$, 上三角集合$S_U$を次のように定義しておく。

S_{L} = \left \{ (i, j) | 1 \le i \le n, 1 \le j \le n, i > j \right \}

S_{D} = \left \{ (i, j) | 1 \le i \le n, 1 \le j \le n, i = j \right \}

S_{U} = \left \{ (i, j) | 1 \le i \le n, 1 \le j \le n, i < j \right \}

もちろん、正方集合$S$を次のように定義すると、$S$は$S_L, S_D, S_U$の直和である。

S = \left \{ (i, j) | 1 \le i \le n, 1 \le j \le n \right \}

すなわち、次が成り立つ。

\begin{align}
S &= S_L \cup S_D \cup S_U \\
\emptyset &= S_L \cap S_D = S_D \cap S_U = S_U \cap S_L
\end{align}

右辺は次のように変形できる。

\begin{align}
&( \sum_{k=1}^n a_k^2 ) ( \sum_{k=1}^n b_k^2 ) \\
=& ( \sum_{i=1}^n a_i^2 ) ( \sum_{j=1}^n b_j^2 ) \\
=& \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_i^2 b_j^2 \\
=& \sum_{(i, j) \in S_L} a_i^2 b_j^2 + \sum_{(i, j) \in S_D} a_i^2 b_j^2 + \sum_{(i, j) \in S_U} a_i^2 b_j^2 \\
=& \sum_{(i, j) \in S_L} (a_i^2 b_j^2 + a_j^2b_i^2) + \sum_{(i, j) \in S_D} a_i^2 b_j^2
\end{align}

左辺は次のように変形できる。

\begin{align}
&( \sum_{k=1}^n a_k b_k )^2 \\
=& ( \sum_{i=1}^n a_ib_i ) ( \sum_{j=1}^n a_jb_j ) \\
=& \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_ia_jb_ib_j \\
=& \sum_{(i, j) \in S_L} a_ia_jb_ib_j + \sum_{(i, j) \in S_D} a_ia_jb_ib_j + \sum_{(i, j) \in S_U} a_ia_jb_ib_j \\
=& \sum_{(i, j) \in S_L} (a_ib_ia_jb_j+a_jb_ja_ib_i) + \sum_{(i, j) \in S_D} a_ia_jb_ib_j \\
=& 2 \sum_{(i, j) \in S_L} a_ib_ia_jb_j + \sum_{(i, j) \in S_D} a_ia_jb_ib_j \\
\end{align}

よって、次の結果が得られる。

\begin{align}
&(右辺) - (左辺) \\
=& \sum_{(i, j) \in S_L} (a_i^2 b_j^2 - 2a_ib_ia_jb_j + a_j^2b_i^2) \\
=& \sum_{(i, j) \in S_L} (a_i b_j - a_jb_i)^2 \ge 0
\end{align}