結構ハマったので共有します。

概要

FlutterでFirebaseのCrashlyticsを使おうと、手順通りに設定していったのに、下記のエラーがでて疎通できない問題についてです。

[Fabric] failed to download settings Error Domain=FABNetworkError Code=-5 "(null)" UserInfo={status_code=403, type=2, request_id=, content_type=application/json; charset=utf-8}

Crashlyticsの画面も疎通待ちのまま更新されません。。。

やったこと

まずは、FlutterとFirebase自体を接続します。

Firebase consoleでプロジェクトを作成し、iOS向けのアプリ追加ウィザードを進めます。
途中で GoogleService-Info.plist をDLできるのでXcodeのRunner/Runnerに設置します。（このファイルがiOSとFirebaseの接続情報となります）
ウィザードの最後に接続待ちとなるので、Flutterをビルドすると接続が完了となります。

次に、Firebase Crashlyticsの接続をします。

Firebase consoleでCrashlyticsを開いてSDK追加し疎通待ちの状態にします。
https://pub.dev/packages/firebase_crashlytics のiOS Integrationに従って設定します。
Flutterをビルドすると疎通が完了するハズです。が、疎通できません。。。

海外サイト等を調べてみると以下のような解決アプローチは載っていましたが、すべて該当しませんでした。。。

pubspec.yaml のロード順を変更する
firebase_coreよりも後にfirebase_crashlyticsを書くこと
XcodeのInfo.plistに手書きでAPI Keyを追加する（旧式のやりかた？）
XcodeのRunScriptのInput Filesに以下を追加（Xcode 10のみ） $(BUILT_PRODUCTS_DIR)/$(INFOPLIST_PATH)

解決策

半ばあきらめつつも調べていると、1つのIssueを見つけました。
https://github.com/FirebaseExtended/flutterfire/issues/1592
同じようなアプローチだなぁと思いつつ、最後の方を見てみると「実機でテストするとうまくいきました」と書いてある！

もしやと思いつつさっそく、実機でテストしたところ疎通できました！
Crashlyticsの画面も疎通完了しました！

解決できてよかったです。
その後、クラッシュデータを送信してみたのですが、これもシミュレーターからはうまく届かず、実機からであればデータが届き、Firebase Crashlyticsでも確認できました。