文系卒が数学オリンピックをPythonで解く（2020年予選編）

これまでのあらすじ

• 文系卒の私。でも数学になじみたい。
• ふむふむ、数学オリンピックというのがあるらしい。やってみますか。
• 紙とペンを使ってマジメに解く文系卒。えらい、えらいぞ！
• ５分後にふと衝撃走る。「これPythonでやったほうが早くない？」
• そんな、いつか 誰かに 本気で怒られそうな気づきを 実行したのであった──。

ルール

• 数学オリンピックの問題をPythonで解く。
• ライブラリは可能な限り使わない。例外的にitertoolsは使う。
• 図形の問題は挑戦しないかも。許してね。
• 式変形すれば解けるようなものも面白味がないので対象外。

引用元

問題はこちらから引用しております。

第30回(2020年)JMO予選の問題 - 数学オリンピック

Q1

問題

千の位と十の位がともに2であるような4桁の正の整数のうち、7の倍数はいくつあるか。
第30回(2020年)JMO予選の問題 - 数学オリンピック

考える

これは考えるより書くが易しですね。

仕様

• 千の位と十の位がともに2であるような4桁の正の整数を作成する。
• 作成した整数に対して、7で割り切れるかを判定する。
• 7で割り切れる場合、リストに格納する。
• リストの要素数を数える。

コーディング

特に変わったことはしていません。
（itertoolsのデカルト積を使えば二重のfor文は防げますが、割愛。）

nums =[]
for n in range(10):
    for m in range(10):
        num = '2'+str(n)+'2'+str(m)
        num = int(num)
        if num % 7 == 0:
            nums.append(num)
print(nums)

# 実行結果 -> [2023, 2121, 2128, 2226, 2324, 2422, 2429, 2520, 2527, 2625, 2723, 2821, 2828, 2926]

要素数の表示。

print(len(nums))

# 実行結果 -> 14

答え：14個

Q4

問題

正の整数nであって、n² とn³ の桁数の和が8であり、 n² とn³ の各桁合わせて1以上8以下の整数がちょうど1個ずつ表れているようなものを全て求めよ。
第30回(2020年)JMO予選の問題 - 数学オリンピック

考える

こういう問題はプログラミング向きで楽しいですね。
初手コーディングでいきましょう。

仕様

• 整数nを作成する。
• n**2とn**3を計算し、以下の条件を満たすか判定する。（AND条件）
  • 合計が8桁か判定する。
  • その8桁に1,2,3,4,5,6,7,8が1回ずつ登場する。
• 条件に合致すれば、nをprintする。
• 条件に合致しなければ、整数nに1を加算する。

コーディング

n = 1
while n < 1000:
    str_n = str(n**2)+str(n**3)
    if len(str_n) == 8:
        results = []
        for _ in range(1,9):
            result = str(_) in str_n
            results.append(result)
        if sum(results)==8:
            print(n)
    n += 1

# 実行結果 -> 24

なお、n=24の場合、n*2とn*3は以下のようになります。

str(n**2),str(n**3)

# 実行結果 -> ('576', '13824')

答え：24

続く──。