Flutterの学習時にパッと調べて出てこなかったことを書いておきます。
どうやって解決したのかわかるように調査内容も書いておきます。
※パッと調べて：一回の検索で出てこなかった

Flutterで画面の向きを固定する

やってみたこと

「flutter 画面 回転」で検索

検索結果の最初の何件かのやり方は、main.dartで

import 'package:flutter/services.dart';

してから、runAppする前に以下を実行すると書かれています。
SystemChrome.setPreferredOrientationsに渡す内容で、縦向き、横向きの固定ができます。

SystemChrome.setPreferredOrientations(
      [DeviceOrientation.portraitUp, DeviceOrientation.portraitDown]);

さらに他のページを見ると、SystemChrome.setPreferredOrientationsの戻り値はFutureなので、設定がされてからrunAppを実行したほうが良いというサイトが出てきます。

SystemChrome.setPreferredOrientations([DeviceOrientation.portraitUp, DeviceOrientation.portraitDown])
  .then((_) {
    runApp(new MyApp());
});

ただ、これを実際に組み込んで実行すると、エラーになります。

E/flutter (12370): [ERROR:flutter/lib/ui/ui_dart_state.cc(157)] Unhandled Exception: ServicesBinding.defaultBinaryMessenger was accessed before the binding was initialized.
E/flutter (12370): If you're running an application and need to access the binary messenger before `runApp()` has been called (for example, during plugin initialization), then you need to explicitly call the `WidgetsFlutterBinding.ensureInitialized()` first.
E/flutter (12370): If you're running a test, you can call the `TestWidgetsFlutterBinding.ensureInitialized()` as the first line in your test's `main()` method to initialize the binding.

「"If you're running an application and need to access the binary messenger before `run App()`")」で検索

検索結果の最初に出てきたページ（英語のサイト）をよく読むと
main()の中で非同期処理を行う際には、下記を実行しろと書かれています。

WidgetsFlutterBinding.ensureInitialized();

完成

実際に組み込んで実行して、成功したmain.dartがこちら。

main.dart

void main() {
  WidgetsFlutterBinding.ensureInitialized();
  SystemChrome.setPreferredOrientations([DeviceOrientation.portraitUp])
      .then((_) {
    runApp(new MyApp());
  });
}

実際にAndroid端末とiOSの端末で確認したところ、無事に縦で固定されました。

補足

「WidgetsFlutterBinding.ensureInitialized()」で検索したら以下のツイートが出てきました。
バージョンによるのかもしれません。
https://twitter.com/_mono/status/1165511095949283328

追記 2020/10/26

iPadではこの方法ではだめというコメントを頂いたので調査して、実機で確認しました。
appDelegate.swiftに2個めの「override func application」の部分を追加して、
プロジェクトの設定で、Requires full screenにチェックを入れることで、縦固定ができます。

ios/Runner/AppDelegate.swift

import UIKit
import Flutter

@UIApplicationMain
@objc class AppDelegate: FlutterAppDelegate {
  override func application(
    _ application: UIApplication,
    didFinishLaunchingWithOptions launchOptions: [UIApplication.LaunchOptionsKey: Any]?
  ) -> Bool {
    GeneratedPluginRegistrant.register(with: self)
    return super.application(application, didFinishLaunchingWithOptions: launchOptions)
  }

  override func application(
    _ application: UIApplication, supportedInterfaceOrientationsFor window: UIWindow?
  ) -> UIInterfaceOrientationMask { return UIInterfaceOrientationMask(arrayLiteral: 
    [UIInterfaceOrientationMask.allButUpsideDown]);
  }
}