Hangoutsで投稿した文章を別のサーバーで取得して、使いたい。というような相談が来たので、色々調べてみました。
結果的には、結構規模が大きくなるんじゃないかなと思って、解決まではしてないです。

ドキュメント

Hangouts Chat API自体使った事がなかったので、まずはドキュメントを読みます。
https://developers.google.com/hangouts/chat

まずはHangouts Chat APIの使用イメージを掴むために、
https://qiita.com/iitenkida7/items/3c8f9f8f6ee1e809558d
こちらの記事を参考にしてやってみました。
botがタイムラインに呟くのは超簡単にできますね。

で、今回やりたいのはタイムラインのメッセージの取得です。
ドキュメントでは
https://developers.google.com/hangouts/chat/reference/rest/v1/spaces.messages/get
この辺りでしょうか。

サーバーをできれば立てたくない。ということだったので、Google Apps Scriptでなんとかできないかな。と色々みてみましたが、日本語のドキュメントは中々ないですね。
あってもbotを作成する系か、Hangoutsの方に投稿する系が多かったです。

結局HangoutsChatのAPIを使用しないと無理そうで、リアルタイムにメッセージを取得したければ、WebSocketを使用する必要もありそうで、そうなるとサーバー立てて、とかやらなければいけなくなるため、2〜3日でできないかな。という相談だったので、難しいと判断しました。