はじめに
こんにちは、こんばんはどうもNOAHです。
今日は小学生の時に一度は思ったであろう「なぜ1+1は2になるのか」という疑問に対して、しっかりと1+1=2を証明していきます。(スッキリしなくても許してね)
ペアノの公理
一口に証明すると言ってもそう簡単にはいきません。泥臭い話ですが、まずは自然数を厳密に定義する必要があります。自然数を定義するときに使うのがペアノの公理です。その公理の内容は以下の通りです。
自然数は以下を満たす
①自然数0が存在する
②任意の自然数aにはその後者、suc(a)が存在する
③0はいかなる自然数の後者でもない
④異なる自然数は異なる後者を持つ
⑤0がある性質を満たし、aがある性質を満たせば、その後者suc(a)もその性質を満たすとき、すべての自然数はその性質を満たす
これだけだと何を言っているのか分からないと思うので一つ一つ説明していきます。
まず①の段階では「自然数という集合は少なくとも空ではない」ということが分かります。つまり、何かしら集合の要素があるということです。
それでは②に行きましょう。「後者」を意味する英語「successor」の頭3文字を取ってsucという関数を考えています。つまり自然数aをこの関数に入れるとaの後者を返してくれます。何を言っているのかというと、0の後者があり、その後者にもまた後者があるという所謂「繋がり」を意味していということです。集合の要素のことを「元」と言うのでこれを使って簡単に言うと②では「次の元の存在」を言っています。
次に③に行きましょう。これは書いてある通りで、何かの後者が0ということはないと言ってます。つまり0には後ろに続くものがないと言うことです。簡単に言えば「最小元の存在」を言っています。
次に④です。まず④の文を式にしてみましょう。式にしてみると「a≠bならばsuc(a)≠suc(b)」となります。これから、sucという関数の「単射性」を意味しています。
最後に⑤です。一見難しそうに見えますが、これはあるスタート地点である性質を満たしていて、あるものの性質を仮定して次も満たしたらすべての自然数について成り立つという「数学的帰納法の原理」について触れているだけなので見た目ほど難しくはありません。
ペアノの公理でこの五つの性質を満たすものを自然数と定義しました。しかし、実際にこれらの性質を満たすものが欲しいというときに、こう言うのを実際に構成できるかどうかとは別問題です。ですが、こう言うのを作れることが知られています。いくつか方法はありますが、ここでは1番有名であろう「フォン・ノイマンの構成法」を紹介しておきます。これの詳しい話は集合論の方になってしまうので割愛させていただいます。
単射性の理解を深める為に下図を用意しました。活用してください。
足し算の定義
さぁ、自然数の定義ができたので次は加法の定義をしていきましょう。
ペアノの公理を満たす集合に対して加法を次のように定義します。
⑥すべての自然数aに対して、a + 0 = a
⑦すべての自然数a,bに対して、a + suc(b) = suc(a+b)
⑥では+という記号の意味を定義と、a "+" 0を行うとaに何も影響を与えないという0の役割を言っています。
⑦はぱっと見「?」という感じですが、具体的に考えると分かりやすいです。試しに、aに1,bに2を入れると1+suc(2)=suc(1+2)=4となって欲しいということです。
1+1=2の証明
加法の定義をすると簡単に1+1=2を証明できます。
まずペアノの公理では1や2という記号は出てきていません。0という記号か出てきていませんでした。なので1や2を定義する必要があるので以下のように定義します。
suc(0)=1,suc(suc(0))=2
これらはペアノの公理より定義できると分かります。
ここで加法の定義よりa=suc(0),b=0とすると⑦より
suc(0)+suc(0)=suc(suc(0)+0)となります。
次に⑥を使うと
suc(suc(0)+0)=suc(suc(0))となり、これは定義より2になります。
よって、1+1=2となります。
終わりに
今回は1+1=2の証明をしてみました。小学1年生で習う簡単なものですが、いざ証明してみるとなると大学範囲の数学を使うことになります。このように簡単なものほど何故そうなるのか疑問に思って、解決してみるのも面白いのではないでしょうか。