統計検定準1級 2019年6月 問2

問題

・統計検定準1級 2019年6月

(1)

問題文より、幾何分布を用いる。

0種類のカードが揃っていて、手に入れていないものを1枚引くとき

$p = \frac{3}{3} = 1$

$E[X] = \frac{1}{p} = \frac{1}{\frac{3}{3}} = 1$

1種類のカードが揃っていて、手に入れていないものを1枚引くとき

$p = \frac{2}{3}$

$E[X] = \frac{1}{p} = \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}$

2種類のカードが揃っていて、手に入れていないものを1枚引くとき

$p = \frac{1}{3} $

$E[X] = \frac{1}{p} = \frac{1}{\frac{1}{3}} = \frac{3}{1} = 3$

よって、3種類のカードが揃うまでに必要な購入回数の期待値は

$E[X] = 1 + \frac{3}{2} + 3 = 1 + 1.5 + 3 = 5.5$

と求まる。

(2)

(1) の状態で、新しいカードを1種類追加する。

3種類のカードが揃っていて、手に入れていないものを1枚引くとき

$p = \frac{1}{4} $

$E[X] = \frac{1}{p} = \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4$

よって

$x = 5.5 + 4 = 9.5$

一方、最初から4種類のカードが発売されていた場合については、(1) と同様に求めることができる。

0種類のカードが揃っていて、手に入れていないものを1枚引くとき

$p = \frac{4}{4} = 1$

$E[X] = \frac{1}{p} = \frac{1}{\frac{4}{4}} = 1$

1種類のカードが揃っていて、手に入れていないものを1枚引くとき

$p = \frac{3}{4}$

$E[X] = \frac{1}{p} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}$

2種類のカードが揃っていて、手に入れていないものを1枚引くとき

$p = \frac{2}{4} $

$E[X] = \frac{1}{p} = \frac{1}{\frac{2}{4}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$

3種類のカードが揃っていて、手に入れていないものを1枚引くとき

$p= \frac{1}{4}$

$E[X] = \frac{1}{p} = \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4$

よって、4種類のカードが揃うまでに必要な購入回数の期待値は

$y = 1 + \frac{4}{3} + 2 + 4 = \frac{50}{6} = \frac{25}{3}$

最後に

$x - y = 9.5 - \frac{25}{3} = \frac{57}{6} - \frac{50}{6} = \frac{7}{6}$

と求まる。