問題
問12
Ⅰ
$$E[\hat{\mu_{1}}] = E[\frac{1}{2}(X_{1}+X_{2})]$$
$$=\frac{1}{2}E[X_{1}]+E[X_{2}]$$
$$=\frac{1}{2}(\mu + \mu)$$
$$=\mu$$
よって、不偏推定量であるので、正しい。
Ⅱ
$$V[\hat{\mu_{1}}] = V[\frac{1}{2}(X_{1}+X_{2})]$$
$$=\frac{1}{4}V[X_{1}]+V[X_{2}]$$
$$=\frac{1}{4}(\sigma^{2} + \sigma^{2})$$
$$=\frac{1}{2}\sigma^{2}$$
ここで、今回使用するチェビシェフの不等式を導出する。（参照）
マルコフの不等式より
$$P(X \geq C) = \frac{E[X]}{C}$$
$X = (Y-\mu)^{2}$、$C=\epsilon^{2}$とすると
$$P((Y-\mu)^{2} \geq \epsilon^{2}) \leq \frac{E[(Y-\mu)^{2}]}{\epsilon^{2}}$$
よって
$$\begin{align}
P(|Y-\mu| \geq \epsilon) \leq \frac{\sigma^{2}}{\epsilon^{2}}\tag{1}
\end{align}$$
全確率の和は $1$ なので
$$1 - P(|Y-\mu| \geq \epsilon) = P(|Y-\mu| \leq \epsilon)$$
移項して
$$P(|Y-\mu| \geq \epsilon) = 1 - P(|Y-\mu| \leq \epsilon)$$
これを $(1)$ 式に代入すると
$$1 - P(|Y-\mu| \leq \epsilon) \leq \frac{\sigma^{2}}{\epsilon^{2}}$$
よって
$$\begin{align}
P(|Y-\mu| \leq \epsilon) \geq 1 - \frac{\sigma^{2}}{\epsilon^{2}} \tag{2}
\end{align}$$
と求まる。
$(2)$ 式に、$Y = \hat{\mu_{1}}$、$\sigma^{2} = V[\hat{\mu_{1}}] = \frac{1}{2}\sigma^{2}$ を代入すると
$$\begin{align}
P(|\hat{\mu_{1}}-\mu| \leq \epsilon) \geq 1 - \frac{\sigma^{2}}{2 \epsilon^{2}}
\end{align}$$
$n \to \infty$とすると
$$\lim_{n \to \infty}P(|\hat{\mu_{1}}-\mu| \leq \epsilon) \geq 1 - \frac{\sigma^{2}}{2 \epsilon^{2}}$$
これは $1$ に収束しないため、$\hat{\mu_{1}}$ は一致推定量ではないことが分かる。
よって、誤りである。
Ⅲ
$$
E[\hat{\mu_{2}}] = E[\frac{1}{n-2}\sum_{i=2}^{n-1}X_{i}]$$
$$=\frac{1}{n-2}E[X_{2} + X_{3}+ \cdots + X_{n-1}]$$
$\{X_{2} + X_{3}+ \cdots + X_{n-1}\}$ は、$\{X_{1} + X_{2}+ \cdots + X_{n}\}$ という $n$ 個の集まりから
$X_{1}$ と $X_{n}$ の2つを引いたものなので、$(n-2)$ 個となる。
$$=\frac{1}{n-2} \cdot \mu \cdot (n-2)$$
$$=\mu$$
よって、不偏推定量であるので、正しい。
Ⅳ
$$V[\hat{\mu_{2}}] = V[\frac{1}{n-2}\sum_{i=2}^{n-1}X_{i}]$$
$$(\frac{1}{n-2})^{2}V[\frac{1}{n-2}\sum_{i=2}^{n-1}X_{i}]$$
$$=(\frac{1}{n-2})^{2} \cdot \sigma^{2} \cdot (n-2)$$
$$=\frac{1}{n-2}\sigma^{2}$$
$(2)$ 式に、 $Y = \hat{\mu_{2}}$、$\sigma^{2} = V[\hat{\mu_{2}}] = \frac{1}{n-2}\sigma^{2}$ を代入すると
$$\begin{align}
P(|\hat{\mu_{2}}-\mu| \leq \epsilon) \geq 1 - \frac{\sigma^{2}}{(n-2)\epsilon^{2}}
\end{align}$$
$n \to \infty$とすると
$$\lim_{n \to \infty}P(|\hat{\mu_{2}}-\mu| \leq \epsilon) \geq 1 - \frac{\sigma^{2}}{(n-2)\epsilon^{2}}$$
これは $1$ に収束するため、$\hat{\mu_{2}}$ は一致推定量であることが分かる。
よって、正しい。