1変数の確率密度の変換に関する問題である。
標準正規分布に従う確率密度関数は
$$f_{X}(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{-\frac{x^{2}}{2}}$$
変換後の$\chi^{2}$ 分布に従う確率密度関数を、$f_{Y}(y)$ とする。
自由度1のカイ二乗分布は、標準正規分布に従う $X$ に対する $X^{2}$ の分布であるので
$Y = X^{2}$ と置く。$X$ について解くと
$$y = x^{2}$$
$$x = \pm \sqrt{y}$$
今回は $X>0$ の場合のみを考えるので
$$x: 0 \rightarrow \infty$$
$$y: 0 \rightarrow \infty$$
よって
$$g^{-1}(y)= \sqrt{y}$$
これを $y$ で微分すると
$$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{2}y^{-\frac{1}{2}}$$
ここで、確率密度の変換の公式を導出する。
全確率は1となるので
$$\int_{- \infty}^{\infty} f_{Y}(y)dy = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X}(x)dx$$
右辺を変形すると
$$\int_{- \infty}^{\infty} f_{X}(x)dx = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X}(g^{-1}(y)) \cdot \frac{dx}{dy}dy$$
よって
$$\int_{- \infty}^{\infty} f_{Y}(y)dy = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X}(g^{-1}(y)) \cdot \frac{dx}{dy}dy$$
この公式に$f_{X}(x)$ と $g^{-1}(y)$ 、$x$ と $y$ の範囲を代入し
$X>0$ の場合のみを考えるため、確率密度を2倍にすると
$$\int_{0}^{\infty} f_{Y}(y)dy = 2 \int_{0}^{\infty} f_{X}(\sqrt{y}) \cdot \frac{1}{2}y^{-\frac{1}{2}}dy$$
計算すると
$$f_{Y}(y) = 2 \cdot f_{X}(\sqrt{y}) \cdot \frac{1}{2}y^{-\frac{1}{2}}$$
$$= f_{X}(\sqrt{y}) \cdot y^{-\frac{1}{2}}$$
$$= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{-\frac{y}{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{y}}$$
$$= \frac{1}{\sqrt{2 \pi y}}e^{-\frac{y}{2}}$$
よって、$\chi^{2}$ 分布に従う確率密度関数は
$$f_{Y}(y) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi y}}e^{-\frac{y}{2}}$$
と求まる。