問題

・統計検定準1級 2019年6月

(1)

ポアソン分布において、期待値と分散は以下のようになる。

$E[X] = \lambda_1 = 3$
$V[X] = \lambda_1 = 3$

$E[Y] = \lambda_2 = 2$
$V[Y] = \lambda_2 = 2$

$E[X+Y] = E[X] + E[Y]= 3 + 2 = 5$

確率変数 $X$, $Y$ は独立であるので

$Cov[X, Y] = 0$

よって

$V[X+Y] = V[X] + V[Y] + 2Cov[X, Y] = 3 + 2 + 0 = 5$

と求まる。

(2)

以下に対する、条件付き確率 $P(A|B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}$ を求める。

$A$：$X + Y = 4$ となる
$B$ : $X$ は $x$ 回、$Y$ は $y$ 回起こる

よって

$A \cap B$：$X$ は $x$ 回、$Y$ は $4-x$ 回起こる

となる。

ポアソン分布の公式は、以下の通りである。

$P_p(x) = e^{-\lambda}\frac{\lambda ^{x}}{x!}$

また、ポアソン分布の再生性より、以下が成り立つ。

$P(B) = P_p(X + Y) = e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)}\frac{(\lambda_1 + \lambda_2)^{(X+Y)}}{(X+Y)!} = e^{-(3 + 2)}\frac{(3 + 2)^{(4)}}{(4)!} = e^{-5}\frac{5^4}{4!}$

そして

$P(A \cap B) = e^{-\lambda_1}\frac{\lambda_1 ^{X}}{X!} \cdot e^{-\lambda_2}\frac{\lambda_2 ^{Y}}{Y!} = e^{-\lambda_1}\frac{\lambda_1 ^{x}}{x!} \cdot e^{-\lambda_2}\frac{\lambda_2 ^{(4-x)}}{(4-x)!} = e^{-3}\frac{3 ^{x}}{x!} \cdot e^{-2}\frac{2 ^{(4-x)}}{(4-x)!}$

上記より

$P(A|B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)} = \frac{e^{-3}\frac{3 ^{x}}{x!} \cdot e^{-2}\frac{2 ^{(4-x)}}{(4-x)!}}{e^{-5}\frac{5^4}{4!}} = \frac{4!}{x!(4-x)!} \cdot \frac{3^x \cdot 2^{(4-x)}}{5^4}$
$= {}_4 C_x \cdot \frac{3^x}{5^4} \cdot \frac{2^{(4-x)}}{5^4} = {}_4 C_x \cdot \frac{3^x}{5^x} \cdot \frac{2^{(4-x)}}{5^{(4-x)}} = {}_4 C_x \cdot {(\frac{3}{5})}^x \cdot {(\frac{2}{5})}^{(4-x)} = {}_4 C_x (0.6)^x (0.4)^{(4-x)}$

このとき、確率変数 $X$ は $B(4, 0.6)$ に従うので

$E[X] = np = 4 \cdot 0.6 = 2.4$

よって

平均が $2.4$ の二項分布に従う。