多重共線性

#多重共線性とは

多重共線性 multicollinearity 　　(Weblio辞書）
　説明変数間に非常に強い相関があったり，一次従属な変数関係がある場合には，解析が不可能（「逆行列が求まりません」というエラーメッセージが出力される）であったり，たとえ結果が求まったとしてもその信頼性は低い。このような場合に多重共線性があると言われる。

　簡単にまとめると、行列は1次独立でない状態（1次従属）なら、多重共線性を持つ。

#1次独立と1次従属
ベクトル$$x_1,x_2,\cdots$$

式①$$\sum_{k=1}^n a_k x_k=0$$

$a_1=0,a_2=0,\cdots,a_n=0$ がこの式の唯一の解であれば、1次独立となる。
$a_1=0,a_2=0,\cdots,a_n=0$ 以外に他の解が存在すれば、1次従属となる。

#1次従属の性質と判断基準
$X=[x_1,x_2,\cdots,x_n]$ の情報行列 $t(X)*X$ の行列式は0である。

##多重共線性①
式①の解が $A=[1,−\alpha,0,\cdots,0]$ となるとき、
$$x_1={\alpha}x_2$$
このパターンはよく知られている。以下の性質を持つ。
Ⅰ．$X$の情報行列 $t(X)*X$ の行列式は0である。

Ⅱ．説明ベクトル $x_1,x_2$ の相関係数の絶対値は1となる。
$$\left|cor(x_1,x_2)\right|=1$$

Ⅲ．$x_1,x_2$ が他の説明ベクトル $x_k,k\neq1,2$ との相関係数の比の絶対値は1となる。（$x_1,x_2$ と $x_k$ 独立でない場合）
$$\frac{\left|cor(x_1,x_k)\right|}{\left|cor(x_2,x_k)\right|}=1$$
または、その相関係数は0である。（$x_1,x_2$ と $x_k$ が独立である場合）
$$cor(x_1,x_k)=cor(x_2,x_k)=0$$

##多重共線性②
式①の解が $A=[1,-\alpha_1,-\alpha_2,0,\cdots,0]$ となるとき、
$$x_1={\alpha_1}x_2+{\alpha_2}x_3$$
説明ベクトル $x_1$ が他の2つ以上の説明ベクトルで説明できる場合、性質Ⅰだけが満たされる。性質ⅡとⅢは満たされない。
Ⅰ．$X$の情報行列 $t(X)*X$ の行列式は0である。

Ⅱ．説明ベクトル $x_1,x_2$ の相関係数の絶対値は常に1ではない。
$$\left|cor(x_1,x_2)\right| = \left|\frac{cov(x_1,x_2)}{ \sqrt{var(x_1)var(x_2)} }\right| = \frac{1}{\left|\sqrt{1+\frac{{\alpha_2}^2var(x_3)}{{\alpha_1}^2 var(x_2)}}\right|} <{1}$$
明らかに、性質Ⅱが満たされない。ただし、${\alpha_2}^2var(x_3)$ が ${\alpha_1}^2var(x_2)$ に対し、無視できるなら、
$$\frac{{\alpha_2}^2var(x_3)}{{\alpha_1}^2var(x_2)}\simeq0$$
説明ベクトル $x_1,x_2$ の相関係数の絶対値はほぼ1となる。
$$\left|cor(x_1,x_2)\right|\simeq1$$
Ⅲ．性質Ⅱと同じ条件で成り立つ。

#シミュレーション
完全に独立な2列ベクトル $x_2,x_3$ を作る。多重共線性①と②の性質Ⅰ〜Ⅲをチェックする。
ケース1：
多重共線性①　$x_1=0.5x_2$ で $x_1$ を作る
ケース2：
多重共線性②　$x_1=0.5x_2+0.5x_3$ で $x_1$ を作る（$x_3$の分散が無視できない）
ケース3：
多重共線性②　$x_1=0.5x_2+0.5x_4$ で $x_1$ を作る（$x_4$の分散が無視できる）
ケース4：
多重共線性を持たない　$x_1=0.5x_2+0.5*x_3$ で $x_1$ を作る ($x_3$を行列から外す)

	ケース1	ケース2	ケース3	ケース4
行列式	0	8.6805e-06	-7.2958e-06	4664419
$x_2$との相関	1	0.6331	0.999988	0.6331
$x_3$との相関	0.0094	0.7799	0.0095	-
$x_4$との相関	0.0047	0.0283	-0.0203	-0.0195
$x_1,x_2$と$x_3$との相関比	1	-	1.0207	-
$x_1,x_2$と$x_4$との相関比	1	1.2669	-	0.3522

#結論
性質Ⅰ
ケース1,2,3の行列式はほぼ0であるので、多重共線性を持つ。ケース4が多重共線性を持たない。
性質Ⅱ
ケース1とケース3は、$x_2$との相関係数が1に近い。
ケース2は多重共線性を持っているが、$x_2$との相関係数は1ではない。しかも、$x_3$との相関係数も1ではない。
ケース4は多重共線性を持たないが、$x_2$との相関係数はケース2と同じだ。
性質Ⅲ
ケース1とケース3は、他の説明変数列との相関係数比が1に近い。

結論は、
1．性質Ⅰが満たされる場合、多重共線性を必ず持つ。
2．多重共線性を持つ場合、性質Ⅱと性質Ⅲが必ずしも満たされない。

#コード

n <- 4  #　説明変数の数
t <- 1000  #  データの数
X <- matrix(0, t, n )
X[,2] <- rep(c(1,3,6,7,1,2,3,4,5),length=t)  
X[,3] <- rep(c(3,4,6,9,2),length=t)
X[,4] <- rnorm(t,0,0.01)
X[,1] <- 0.5*X[,2]+0.5*X[,4]　#  ケース1～4の条件による。
In <- t(X) %*% X  #  情報行列
det(In)  #  行列式
cor(X)  #  相関係数
cor(X)[,1]/cor(X)[,2] #  相関係数の比