∞と0の関係と四則演算を自己流で解釈します。
## 両者の関係
$$\infty = \frac{r}{0},r \in R, r > 0$$
$$-\infty = \frac{-r}{0},r \in R, r > 0$$
まず、すべての実数$r$に対し、上記の式が成立つ。$\infty * 0$の答えは唯一ではないので、定義できない。
## 四則演算
下記の式に対し、定義はできない。
- $0/0$
- $\infty * 0$
- $\infty - \infty$
- $\infty / \infty$
説明：
1．$\frac{0}{0} = \frac{0}{r_{1}} / \frac{0}{r_{2}}$
2. $\infty * 0 = \frac{r}{0} * {0}$
3．$\infty - \infty = \frac{r_{1}}{0} - \frac{r_{2}}{0} = \frac{r_{1}-r_{2}}{0}$
4．$\infty / \infty = \frac{r_{1}}{0} / \frac{r_{2}}{0}$
$\frac{a}{a}=1,a=0$のケースを考えよう。$a=0$のとき、$\frac{a}{a}=1$が成立つとしても、1~4の答えも唯一ではないので、定義できない。
ただし、下記の式が成立つ。
1．$\frac{\infty}{0} = \infty$, $\frac{0}{\infty} = 0$.
2．$\infty * \infty = \infty$, $0*0 = 0$.
3．$\infty + \infty = \infty$, $-\infty - \infty = -\infty$.
##冪乗
$\frac{0}{0}$を計算するとき、$\frac{0}{r_{1}} / \frac{0}{r_{2}}$の$\frac{r_{2}}{r_{1}}$が決まらない。
しかし、
${0}^{0} = {0}^{1} * {0}^{-1} = {\frac{0}{r}}^{1} * {\frac{0}{r}}^{-1}$のうち、${\frac{0}{r}}$が同じ$r$を持つことが保証されるので、${0}^{0} = 1$。
その性質を使い、下記の式が成立つ。
1．${\infty}^{0} = {(\frac{r}{0})}^{0} = \frac{{r}^{0}}{{0}^{0}} = 1$.
2．${0}^{\infty} = 000*\cdots = 0$.
3．${\infty}^{\infty} = \infty*\infty*\infty*\cdots = \infty$.
4．${\infty}^{-\infty} = {0}^{\infty} = 0$.