はじめに
線形代数を学び始めたので、備忘録として簡単に定義や定理を自分の中で理解しやすいようにまとめてみました。
計量ベクトル空間
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内積
- VをR上のベクトル空間とした時、Vの任意の2つのベクトルv、wに対して実数 (v, w) が1つ決まる。これは直積 V×V から R への写像とみなすことができる
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計量ベクトル空間
- 内積はベクトル空間の規定の取り方に依存する。つまり、内積はベクトル空間に存在しているわけではなく、付与されたものである。内積が定義される空間を計量ベクトル空間という
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エルミート内積
- 複素数を含む場合の内積のこと
一言メモ
- 内積が実数が1つ決まるという点が重要だと感じている
正規直交基底
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正規直交基底
- 計量ベクトル空間において、各基底が直交しておりノルムが1のとき、これらを正規直交基底という
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グラム・シュミットの直交化
- 計量ベクトル空間で与えられた基底を正規直交基底に変換するための手順
一言メモ
- 正規直交基底の効果がまだ十分に理解できていない。今後の学習に期待
直交変換（ユニタリ変換）
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直交変換（ユニタリ変換）
- VをK上の計量ベクトル空間としたとき、その内積（エルミート内積を含む）をVの1次変換で普遍に保つ行列。任意のベクトルv、wについて (f(v), f(w)) = (u, w) のとき、fを直交変換（ユニタリ変換）という
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直交行列（ユニタリ行列）
- n次正方行列Aが (A^T = A^{-1}) を満たす時、Aを直交行列（ユニタリ行列）という
一言メモ
- 内積を保ったまま写像する行列が直交行列