線形代数の学習備忘録（part1）

はじめに

線形代数を学び始めたので、備忘録として簡単に定義や定理を自分の中で理解しやすいようにまとめてみました。

写像と変換の違い

• 写像
  • ２つの集合X,Yにおいて、Xのどの要素にもYの要素が１つずつ対応しているとき、この対応をXからYへの写像という
• 変換
  • 集合XからX自身への写像をX上の変換という

一言メモ

• 写像と変換の違いはどこに表れるかというと、行列のサイズにでてくる。変換はm×m行列のような正方行列で表され、写像はm×n行列のような行列で表される

線形写像

• 線形写像
  • ベクトル空間からベクトル空間への写像のうち、線形性が崩れないもの
    • 階数
      • f: V → WをK上の線形写像とするとき、Wの部分空間f(v)の次元をfの階数といい、rank(f)と記述する
      • rank f = dim f(V)
    • 核
      • 零ベクトルだけからなるWの部分空間W = {0}の逆像f^{-1}をfの核といい、ker(f)と記述する
      • ker(f) = { v ∈ V | f(v) = 0 }
    • 単射
      • 任意の　v、　v' ∈ Vについて、v ≠ v'ならばf(v) ≠ f(v')
      • dim V ≤ dim W
    • 全射
      • 任意のw ∈ WについてW=f(v)となるv ∈ Vが少なくとも一つ存在する
      • dim V ≥ dim W
    • 同型写像
      • fが全単射である写像のこと

一言メモ

• 核がなんだ、単射・全射がなんだと思われるが意外と重要な気がしている。Aを行列として、Ax＝bのxの解の自由度のだったり、Aには逆行列が存在するのか、次元はどうなのかを知る時に役立つ。