前置き

これについて学ぶ発端となったのは、以下のコードを書いているときでした。
リクエストを並列に走らせたく、Promise.allを使う必要がありました。
Promise.allの引数には、配列でPromiseオブジェクトを渡す必要があるので、下のputs（）というPromiseオブジェクトを返す関数も作成しました。

以下ではエラーが出るのですが、どこが間違いか気づきますか？

method(A, B) {
  // 処理
}

puts(A, B): Promise<void> {
    return new Promise(function(resolve) => {
      this.$api
        .get('/tech-talk')
        .then(response => {
           this.method(A, B)
        })
        .then(() => resolve())
    })
 }

funcA(): Promise<void> {
    const promises = [
      this.puts(1, 1),
      this.puts(1, 2),
      this.puts(2, 1),
      this.puts(2, 2)
    ]
    Promise.all(promises).then(function() {
      this.funcB()
    })
}

間違いは以下になります。

puts(A, B): Promise<void> {
    return new Promise(function(resolve) => {
      // 'this' implicitly has type 'any' because it does not have a type annotation
      this.$api
        .get('/tech-talk')
        .then(response => {
           // 'this' implicitly has type 'any' because it does not have a type annotation
           this.method(A, B)
        })
        .then(() => resolve())
    })
 }

functionA(): Promise<void> {
    const promises = [
      this.puts(1, 1),
      this.puts(1, 2),
      this.puts(2, 1),
      this.puts(2, 2)
    ]
    Promise.all(promises).then(function() {
      // 'this' implicitly has type 'any' because it does not have a type annotation
      this.functionB()
    })
}

エラーメッセージが出ているのは、全て「this」を扱っている箇所です。
最初なぜなのか分かりませんでした。

正解パターンは以下です。

puts(A, B): Promise<void> {
    return new Promise(resolve => {
      this.$api
        .get('/tech-talk')
        .then(response => {
           this.method(A, B)
        })
        .then(() => resolve())
    })
 }

functionA(): Promise<void> {
    const promises = [
      this.puts(1, 1),
      this.puts(1, 2),
      this.puts(2, 1),
      this.puts(2, 2)
    ]
    Promise.all(promises).then(() => this.functionB())
}

Promiseのコールバック関数を無名関数からアロー関数に変更しただけです。

無名関数とアロー関数のthisの取り扱い方の違い

関数	thisの扱い方
無名関数	それが何を指し示すかは文脈によって変化する。そのメソッドにアクセスしたオブジェクトが、thisとなる。
アロー関数	文脈に依存せず、宣言された時点でthisを確定する。呼び出された場所をthisとする

上に掲載したコードを例にすると、コールバック関数が無名関数の場合、thisはPromiseオブジェクト自身にあたるので、外のdataやmethodを参照できない。

逆にアロー関数の場合、呼び出し元からthisのスコープが引き継がれるので、外のdataやmethodも参照ができる。

補足
function が基準スコープになるのが JavaScript の大きな特徴 (var のスコープもこれに準ずる)。
そのため、function を入れ子にした途端 this の指すものが変わってきてしまうので注意が必要。
それに対して、アロー関数を利用すると関数をどんなに入れ子にしてもthisの指すものは変わらず固定化される。

その他無名関数とアロー関数の違い

JavaScript: 通常の関数とアロー関数の違いは「書き方だけ」ではない。異なる性質が10個ほどある。

参考記事

【Vue.js】Promiseのcallback処理にComponentで定義したmethodの使用
 JavaScript の this を理解する多分一番分かりやすい説明