表皮深さ
以下のマクスウェル方程式
\nabla\cdot\mathbf{D}\left(t,x\right) = \rho\left(t,\mathbf{x}\right)
\nabla\times\mathbf{E}\left(t,x\right)+\frac{\mathrm{\partial\mathbf{B}\left(t,x\right)}}{\partial t} = 0\\
\nabla\times\mathbf{H}\left(t,\mathbf{x}\right)-\frac{\mathrm{\partial\mathbf{D}\left(t,x\right)}}{\partial t} = \mathbf{j}\left(t,\mathbf{x}\right)
導体中に電荷が存在せず、電場は存在するが電束が存在しないと仮定すると
\nabla\cdot\mathbf{D} = 0\\
\mathbf{D}=\varepsilon\mathbf{E} = 0\\
\mathbf{E\neq}0
より$\varepsilon=0$
となる。式(2)の回転を取ると
\nabla\times\nabla\times\mathbf{E} = -\mu_{0}\frac{\partial}{\partial t}\left(\nabla\times\mathbf{H}\right)\\
= -\mu_{0}\frac{\partial}{\partial t}\mathbf{j}\\
= -\mu_{0}\frac{\partial}{\partial t}\left(\sigma\mathbf{\mathbf{E}}\right)\\
= -\mu_{0}\sigma\frac{\partial}{\partial t}\mathbf{\mathbf{E}}
ここで、定理
\left(\nabla\times\nabla\times\mathbf{A}\right)=\nabla\left(\nabla\cdot\mathbf{A}\right)-\Delta\mathbf{A}
を用いると
\nabla\left(\nabla\cdot\mathbf{E}\right)-\Delta\mathbf{E} = -\mu_{0}\sigma\frac{\partial}{\partial t}\mathbf{\mathbf{E}}
-\Delta\mathbf{E}+\mu_{0}\sigma\frac{\partial}{\partial t}\mathbf{\mathbf{E}} = 0
ここで、導体中(z方向)に向かって進む波を考え
\mathbf{E} = E_{0}\exp\left(i\left(\omega t-kz\right)\right)
と置くと、
-k^{2}E+i\omega\mu_{0}\sigma E = 0
k = \sqrt{i\omega\mu_{0}\sigma}
ここで定理
\sqrt{i}=\pm\frac{1+i}{\sqrt{2}}
より
k = \pm\frac{\sqrt{\omega\mu_{0}\sigma}+\sqrt{\omega\mu_{0}\sigma}i}{\sqrt{2}}\\
= \pm\left(\sqrt{\frac{\omega\mu_{0}\sigma}\\{2}}+\sqrt{\frac{\omega\mu_{0}\sigma}{2}}i\right)
上式を()式に代入すると
\mathbf{E} = E_{0}\exp\left(i\left(\omega t-kz\right)\right)\\
= E_{0}\exp\left(i\left(\omega t\mp\left(\sqrt{\frac{\omega\mu_{0}\sigma}\\{2}}+\sqrt{\frac{\omega\mu_{0}\sigma}{2}}i\right)z\right)\right)\\
= E_{0}\exp\left(i\omega t\right)\exp\left(\mp\sqrt{\frac{\omega\mu_{0}\sigma}{2}}z\right)\exp\left(\pm i\sqrt{\frac{\omega\mu_{0}\sigma}{2}}z\right)\\
z=\pm z
を仮定すると
\mathbf{E} = E_{0}\exp\left(i\omega t\right)\exp\left(-\sqrt{\frac{\omega\mu_{0}\sigma}{2}}z\right)\exp\left(i\sqrt{\frac{\omega\mu_{0}\sigma}{2}}z\right)\\
上式は、距離$z$に依存して電場が減衰することを示している。
\mathbf{E}=\frac{E_{0}}{\exp\left(1\right)}
を満たす$z$を表皮深さ$\delta$と定義すると、
\delta \equiv \sqrt{\frac{2}{\omega\mu_{0}\sigma}}
となる。