交流電力の評価

1 実効値の定義

電圧の瞬時値と電流の瞬時値を次式で表される正弦波形とすると

V\left(t\right)	=	V_{a}\sin\omega t \\
I\left(t\right)	=	V_{a}\sin\left(\omega t-\phi\right)

ただし、$V_{a}$ [V] : 電圧の振幅、$I_{a}$ [A] :電流の振幅、$\omega=2\pi f$ [rad/s]：周波数、$\phi$ [rad] ：電圧と電流の位相差

この交流信号の電力の瞬時値$p\left(t\right)$は次式で表される。

p\left(t\right)	=	v\left(t\right)i\left(t\right)\\
	=	V_{a}\sin\left(\omega t\right)I_{a}\sin\left(\omega t-\phi\right)\\
	=	\frac{V_{a}I_{a}\cos\phi-V_{a}I_{a}\cos\left(2\omega t-\phi\right)}{2}

ここで、$\sin A\sin B=\frac{\cos\left(A-B\right)-\cos\left(A+B\right)}{2}$の関係を用いた。

周期$T=1/f=2\pi/\omega$ [s] の$\upsilon\left(t\right),i\left(t\right)$の積で表される。$p\left(t\right)$の1周期に渡る時間平均$P$は次のように導出される。

P	=	\frac{1}{T}\int_{0}^{T}p\left(t\right)dt=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}v\left(t\right)i\left(t\right)dt\\
	=	\frac{V_{a}I_{a}}{2T}\int_{0}^{T}\left\{ \cos\phi-\cos\left(2\omega t-\phi\right)\right\} dt\\
	=	\frac{V_{a}I_{a}}{T}\left\{ T\cos\phi-\frac{1}{2\omega}\left(\sin\left(2\omega T-\phi\right)-\sin\left(2\omega0-\phi\right)\right)\right\} \\
	=	\frac{V_{a}I_{a}}{2T}\left\{ T\cos\phi-\frac{1}{2\omega}\left(\sin\left(4\pi-\phi\right)-\sin\left(2\omega0-\phi\right)\right)\right\}\\ 
	=	\frac{V_{a}I_{a}}{2}\cos\phi

$\phi=0$ を仮定すると、$P = \frac{V_{a}I_{a}}{2}$である。これは、この式から、電力の1周期に渡る時間平均は電流電圧の積を2で割ったものであることがわかる。ここで$V_{R}\equiv\frac{V_{a}}{\sqrt{2}},I_{R}\equiv\frac{I_{a}}{\sqrt{2}}$を電圧・電流の実効値とそれぞれ定義すると上式は$P = V_{R}I_{R}$となる。これらのことから、以上で仮定した範囲において、直流電圧・電流$V_{R}I_{R}$の電力は、交流電圧・電流$V\left(t\right)I\left(t\right)$の周期$T$に渡る時間平均電力と等価であることが主張できる。

##2 電流と電圧の周波数が異なる場合

ひずみのない基本周波数成分だけの正弦波電圧信号$v\left(t\right)$と、任意の高調波歪を持った電流$i\left(t\right)$の有効電力を求めると次のようになる。(途中)

##3 振幅・位相が時間変化する場合

(3)式を振幅及び位相差が変化する$p\left(t\right)$に適用することを考える。(3)式は時刻が定義されていないので、いくつか仮定を用いる。ある時刻おける、周期$T$における平均電力を$t$の瞬時電力と仮定する。また電流・電圧の振幅の実効値$V_{R},I_{R}$はこの時間における平均値$\bar{V},\bar{I}$で以下の様に表せると仮定する。

V_{R}\left(t\right)	=	\frac{\bar{V}\left(t\right)}{\sqrt{2}}\\
	=	\frac{1}{\sqrt{2}T}\int_{t-\frac{T}{2}}^{t+\frac{T}{2}}V\left(t\right)dt\\
	=	\frac{1}{\sqrt{2}T}\int_{t-\frac{T}{2}}^{t+\frac{{\it T}}\\{2}}V\left(t\right)dt
I_{R}\left(t_{1}\right)	=	\frac{1}{\sqrt{2}T}\int_{t-\frac{T}{2}}^{t+\frac{T}\\{2}}I\left(t\right)dt

これらの表記は幅時間幅$T$の移動平均と等価であるので、畳みこみで表記することができる。

V_{R}\left(t\right)	=	\frac{1}{\sqrt{2}{\it \Delta t}}\int_{t-\frac{T}{2}}^{t+\frac{T}{2}}V\left(k\right)dk\\
	=	\frac{1}{\sqrt{2}{\it \Delta t}}\int_{-\infty}^{\infty}h\left(k-t\right)V\left(k\right)dk\\
		\frac{1}{\sqrt{2}{\it \Delta t}}\left(h*V\right)\left(t\right)
I_{R}\left(t\right)	=	\frac{1}{\sqrt{2}{\it \Delta t}}\left(h*I\right)\left(t\right)\\
\phi\left(t\right)	=	\frac{1}{{\it \Delta t}}\left(h*\phi\right)\left(t\right)\\
h\left(t\right)	=	\begin{cases}
\begin{array}{cc}
1 & t-\frac{T}{2}\leqq t<t+\frac{T}{2}\\
0 & {\textstyle {\rm otherwize}}
\end{array}\end{cases}

このとき、$P\left(t\right)$は

P\left(t\right)	=	V_{R}\left(t\right)I_{R}\left(t\right)\cos\phi\left(t\right)\\
	=	\frac{1}{2{\it \Delta t}^{2}}\left(h*V\right)\left(t\right)\left(h*I\right)\left(t\right)\cos\left(\frac{\left(h*\phi\right)\left(t\right)}{{\it \Delta t}}\right)

##4 交流電力の実効値の評価

周波数一定で振幅が時間変化し、また両者の位相差が$\phi$である交流電圧・電流を仮定する。式をそれぞれヒルベルト変換を用いて実効値を導出する。

V\left(t\right)	=	V_{a}\left(t\right)\cos\omega t\\
I\left(t\right)	=	I_{a}\left(t\right)\cos\left(\omega t-\phi\right)\\

ある信号のヒルベルトフィルタを$\mathcal{H}$と表記する。ヒルベルトフィルタを上2式に適用すると以下の解析信号を得る。

\mathcal{H}\left[V\left(t\right)\right]	=	V_{a}\left(t\right)e^{i\omega t}\\
\mathcal{H}\left[I\left(t\right)\right]	=	I_{a}\left(t\right)e^{i\left(\omega t-\phi\right)}\\

この複素数の絶対値は

 \left|\mathcal{H}\left[V\left(t\right)\right]\right|	=	V_{a}\left(t\right)
\left|\mathcal{H}\left[I\left(t\right)\right]\right|	=	I_{a}\left(t\right)

したがって、実効値$V_{R}\left(t\right),I_{R}\left(t\right)$は

\frac{\left|\mathcal{H}\left[V\left(t\right)\right]\right|}{\sqrt{2}}	=	\frac{V_{a}\left(t\right)}{\sqrt{2}}=V_{R}\left(t\right)\\
\frac{\left|\mathcal{H}\left[I\left(t\right)\right]\right|}{\sqrt{2}}	=	\frac{I_{a}\left(t\right)}{\sqrt{2}}=I_{R}\left(t\right)

##5 交流電流・電圧の位相差の評価

上式式の積(ただし片方は共役)を取ると、

\phi\left(t\right) = 
\arg\left(\frac{\mathcal{H}\left[V\left(t\right)\right]\left(\mathcal{H}\left[I\left(t\right)\right]\right)^{*}}{\left|\mathcal{H}\left[V\left(t\right)\right]\right|\left|\left(\mathcal{H}\left[I\left(t\right)\right]\right)^{*}\right|}\right)

ただし、上でargは以下に示す関数とする。

\arg\left(f\right)	=	\begin{cases}
\begin{array}{cc}
\arctan\left(Im\left(f\right)/Re\left(f\right)\right) & \left(Re\left(f\right)>0\right)\\
\pi/2 & \left(Re\left(f\right)=0,\ Im\left(f\right)>0\right)\\
3\pi/2 & \left(Re\left(f\right)=0,\ Im\left(f\right)<0\right)\\
\arctan\left(Im\left(f\right)/Re\left(f\right)\right)+\pi & \left(Re\left(f\right)<0\right)\\
{\rm 0} & \left(Re\left(f\right)=Im\left(f\right)=0\right)
\end{array}\end{cases}

5.1 瞬時電力の評価

上式から、電力の1周期に渡る時間平均は以下で表される。

P\left(t\right)	=	\frac{V_{a}\left(t\right)I_{a}\left(t\right)}{2}\cos\left(\phi\left(t\right)\right)\\
	=	\frac{\left|\mathcal{H}\left[V\left(t\right)\right]\right|\left|\mathcal{H}\left[I\left(t\right)\right]\right|}\\{2}\cos\left(\arg\left(\frac{\mathcal{H}\left[V\left(t\right)\right]\left(\mathcal{H}\left[I\left(t\right)\right]\right)^{*}}\\{\left|\mathcal{H}\left[V\left(t\right)\right]\right|\left|\left(\mathcal{H}\left[I\left(t\right)\right]\right)^{*}\right|}\right)\right)\\
\arg\left(f\right)	=	\begin{cases}\\
\begin{array}{cc}
\arctan\left(Im\left(f\right)/Re\left(f\right)\right) & \left(Re\left(f\right)>0\right)\\
\pi/2 & \left(Re\left(f\right)=0,\ Im\left(f\right)>0\right)\\
3\pi/2 & \left(Re\left(f\right)=0,\ Im\left(f\right)<0\right)\\
\arctan\left(Im\left(f\right)/Re\left(f\right)\right)+\pi & \left(Re\left(f\right)<0\right)\\
{\rm 0} & \left(Re\left(f\right)=Im\left(f\right)=0\right)
\end{array}\end{cases}\\

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