あまり使うことはなさそうですが、極座標において中心を減点とする球面の法線ベクトルを推定し、任意のベクトル(この場合は直交座標系で(0,0,1)のベクトルとのなす角を計算する手順を示します。
1 法線ベクトルの計算
$r,\theta,\varphi$で定義される球における位置ベクトル$\mathbf{x}$
の法線ベクトルは下記の様に表される。
\mathbf{x} \equiv r\left(\sin\theta\cos\varphi,\ \sin\theta\sin\varphi,\ \cos\theta\right)\\
\mathbf{n}\left(\mathbf{x}\right)=\mathscr{N}\left[-\frac{\partial\mathbf{x}}{\partial r}\right] = \mathscr{N}\left[-\left(\sin\theta\cos\varphi,\ \sin\theta\sin\varphi,\ \cos\theta\right)\right]
ただし、$\mathscr{N}\left[\right]$
は括弧内を規格化することを意味する。
2 xとyの値からz軸を計算
$z$が未知で$x,y,r,\theta,\varphi$が既知の場合、下記の関係
x = r\sin\theta\cos\varphi,\\
y = r\sin\theta\sin\varphi,\\
z = r\cos\theta.\\
から、z の座標が以下の様に求まる。
z=r\cos\theta = \pm r\sqrt{1-\sin^{2}\theta},\\
= \pm r\sqrt{1-\left(\frac{x}{r\cos\varphi}\right)^{2}},\\
\frac{x}{r\cos\varphi} = \sin\theta,\\
\sin\theta = \begin{cases}
\frac{x}{r\cos\varphi} & y=0\\
\frac{y}{r\sin\varphi} & x=0,\ {\rm otherwise}
\end{cases}.
3 角度の計算
球の平面の法線ベクトル$\mathbf{n}$と、カメラの視線ベクトル$\left(0,0,1\right)$とのなす角$\theta$は以下ので示される。
\theta = \arccos\left(\frac{\mathbf{n}\cdot\left(0,0,1\right)}{\left|\mathbf{n}\right|\left|\left(0,0,1\right)\right|}\right)