2024年12月16日のPhysics Lab.のアドベントカレンダーです. お久しぶりです. 亥の子の弐代目ですよ. 本日わクリスマスプレゼントにもピッタリ 岩波 数学公式III 特殊関数をあなたが買うべき理由を100個紹介します.
Legendre多項式の王 Legendre多項式キング
(1). Legendre関数の満たす微分方程式を知ることができる
$$ \left[(1-x^2)\frac{d^2}{dx^2}-2x\frac{d}{dx}+l(l+1)\right]P_l(x)=0 $$
(2). Legendre関数の表示を知ることができる
$$ P_l(x)=\frac{1}{2^l l!}\frac{d^l}{dx^l}(x^2-1)^l $$
(3). $P_0(x)$を知ることができる
$$ P_0(x)=1 $$
(4). $P_1(x)$を知ることができる
$$ P_1(x)=x $$
(5). $P_2(x)$を知ることができる
$$ P_2(x)=\frac{3x^2-1}{2} $$
(6). $P_3(x)$を知ることができる
$$ P_3(x)=\frac{5x^3-3x}{2} $$
(7). $P_l(1)$を知ることができる
$$ P_l(1)=1 $$
(8). $P_l(-1)$を知ることができる
$$ P_l(-1)=(-1)^l $$
(9). 漸化式について知ることができる
$$ (l+2)P_{l+2}(x)-(2l+1)P_{l+1}+(l+1)P_l(x)=0 $$
(10). 漸化式について知ることができる
$$ (x^2-1)\frac{dP_{l}}{dx}(x)=(l+1)\left[P_{l+1}(x)-xP_l(x)\right] $$
(11). 母関数について知ることができる
$$ \sum_{l=0}^{\infty}P_l(x)t^l=\frac{1}{\sqrt{t^2-2tx+1}} $$
ただし$-1\leq x\leq1$かつ$|t|\leq1$
(12). 直交性について知ることができる
$$ \int_{-1}^{1}dxP_l(x)P_m(x)=\frac{2}{2l+1}\delta_{lm} $$
Hermite多項式の王 Hermite多項式キング
(13). Hermite多項式の満たすべき微分方程式を知ることができる
$$ \left[\frac{d^2}{dx^2}-x\frac{d}{dx}+n\right]H_n(x)=0 $$
(14). Hermite多項式の表示を知ることができる
$$ H_n(x)=(-1)^ne^{x^2/2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2/2} $$
(15). $H_0(x)$を知ることができる
$$ H_0(x)=1 $$
(16). $H_1(x)$を知ることができる
$$ H_1(x)=x $$
(17). $H_2(x)$を知ることができる
$$ H_2(x)=x^2-1 $$
(18). $H_3(x)$を知ることができる
$$ H_3(x)=x^3-x $$
(19). 母関数を知ることができる
$$ \sum_{n=0}^{\infty}H_n(x)\frac{t^n}{n!}=\exp\left[tx-\frac{t^2}{2}\right] $$
(20). 直交性を知ることができる
$$ \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2/2}H_n(x)H_m(x)=\sqrt{2\pi}n!\delta_{nm} $$
(21). 積分表示を知ることができる
$$ H_n(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-t^2/2}(x+it)^n dt $$
Legendre陪多項式の王 Legendre陪多項式キング
(22). Legendre陪多項式の満たすべき微分方程式を知ることができる
$$ \left[(1-x^2)\frac{d^2}{dx^2}-2x\frac{d}{dx}+\left(l(l+1)-\frac{m^2}{1-x^2}\right)\right]P_{l}^{m}(x)=0 $$
(23). Legendre陪多項式の表示を知ることができる
$$ P_{l}^{m}(x)=(1-x^2)^{m/2}\frac{d^m}{dx^m}P_l(x) $$
(24). Legendre陪多項式の偶奇性を知ることができる
$$ P_{l}^{m}(-x)=(-1)^{l+m}P_{l}^{m}(x) $$
(25). $P_{1}^{1}(x)$を知ることができる
$$ P_{1}^{1}(x)=(1-x^2)^{1/2} $$
(26). $P_{2}^{1}(x)$を知ることができる
$$ P_{2}^{1}(x)=3x(1-x^2)^{1/2} $$
(27). $P_{2}^{2}(x)$を知ることができる
$$ P_{2}^{2}(x)=3(1-x^2) $$
(28). 直交性を知ることができる
$$ \int_{-1}^{1}dxP_{l}^{m}(x)P_{n}^{m}(x)=\frac{2(m+l)!}{(l-m)!(2l+1)}\delta_{ln} $$
(29). 直交性を知ることができる
$$ \int_{-1}^{1}dxP_{l}^{m}(x)P_{l}^{n}(x)=\frac{(m+l)!}{(l-m)!m}\delta_{mn} $$
Bessel関数の王 Bessel関数キング
(30). 一般のBessel関数$Z_l(x)$の満たす微分方程式を知ることができる
$$ \left[\frac{d^2}{dx^2}+\frac{1}{x}\frac{d}{dx}+\left(1-\frac{l^2}{x^2}\right)\right]Z_l(x)=0 $$
(31). $J_l(x)$の冪級数展開を知ることができる
$$ J_l(x)=\left(\frac{x}{2}\right)^l\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n(x/2)^n}{n!\Gamma(l+n+1)} $$
(32). $N_l(x)$を知ることができる
$$ N_l(x)=\frac{\cos l\pi J_l(x)-J_{-l}(x)}{\sin l\pi} $$
(33). $J_l(x)$の母関数を知ることができる
$$ \sum_{n=-\infty}^{\infty}J_n(x)t^n=\exp\left[\frac{x}{2}\left(t-\frac{1}{t}\right)\right] $$
(34). $J_l(x)$の母関数を知ることができる
$$ \sum_{n=-\infty}^{\infty}J_n(x)e^{in\theta}=\exp\left[ix\sin\theta\right] $$
(35). $|x|\longrightarrow \infty$での$J_l(x)$の漸近形を知ることができる
$$ J_l(x)\sim\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\cos\left(x-\frac{2l+1}{4}\pi\right) $$
(36). $|x|\longrightarrow \infty$での$N_l(x)$の漸近形を知ることができる
$$ N_l(x)\sim\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\sin\left(x-\frac{2l+1}{4}\pi\right) $$
(37). $|x|\longrightarrow \infty$での$H_{l}^{(1)}(x)$の漸近形を知ることができる
$$ H_{l}^{(1)}(x)\sim\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\exp i\left(x-\frac{2l+1}{4}\pi\right) $$
(38). 漸化式を知ることができる
$$ x\left[Z_{l-1}(x)+Z_{l+1}(x)\right]=2lZ_{l}(x) $$
(39). 漸化式を知ることができる
$$ x\frac{dZ_l(x)}{dx}=lZ_l(x)-Z_{l+1}(x) $$
球Bessel関数の王 球Bessel関数キング
(40). 一般の球Bessel関数$u_l(x)$の満たすべき微分方程式を知ることができる
$$ \left[\frac{d^2}{dx^2}+\frac{2}{x}\frac{d}{dx}+\left(1-\frac{l(l+1)}{x^2}\right)\right]u_l(x)=0 $$
(41). Helmholtz方程式の解を展開することができる
$$\left(\nabla^2+k^2\right)f(r,\theta,\phi)=0$$
$$ f(r,\theta,\phi)=\sum_{l=0}^{\infty}\sum_{m=-l}^{l}a_{lm}j_l(kr)P_l(\cos\theta)e^{im\phi} $$
(42). $j_l(x)$の表示を知ることができる
$$ j_l(x)=(-1)^l x^l\left(\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\right)^l \frac{\sin x}{x} $$
(43). $n_l(x)$の表示を知ることができる
$$ n_l(x)=(-1)^l x^l\left(\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\right)^l \frac{\cos x}{x} $$
(44). $h_{l}^{(1)}(x)$の表示を知ることができる
$$ h_{l}^{(1)}(x)=i(-1)^{l+1} x^l\left(\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\right)^l \frac{e^{ix}}{x} $$
(45). $h_{l}^{(2)}(x)$の表示を知ることができる
$$ h_{l}^{(2)}(x)=i(-1)^{l} x^l\left(\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\right)^l \frac{e^{-ix}}{x} $$
(46). $j_0(x)$を知ることができる
$$ j_0(x)=\frac{\sin x}{x} $$
(47). $j_1(x)$を知ることができる
$$ j_1(x)=\frac{\sin x-x\cos x}{x^2} $$
(48). $j_2(x)$を知ることができる
$$ j_2(x)=\frac{(3-x^2)\sin x-3x\cos x}{x^3} $$
(49). $n_0(x)$を知ることができる
$$ n_0(x)=-\frac{\cos x}{x} $$
(50). $n_1(x)$を知ることができる
$$ n_1(x)=-\frac{\cos x+x\sin x}{x^2} $$
(51). $n_2(x)$を知ることができる
$$ n_2(x)=-\frac{(3-x^2)\cos x+3x\sin x}{x^3} $$
(52). $h_{0}^{(1)}(x)$を知ることができる
$$ h_{0}^{(1)}(x)=-\frac{ie^{ix}}{x} $$
(53). $h_{1}^{(1)}(x)$を知ることができる
$$ h_{1}^{(1)}(x)=-\frac{x+i}{x^2}e^{ix} $$
(54). $h_{2}^{(1)}(x)$を知ることができる
$$ h_{2}^{(1)}(x)=-\frac{3x+ix(3-x^2)}{x^3}e^{ix} $$
(55). $h_{0}^{(2)}(x)$を知ることができる
$$ h_{0}^{(2)}(x)=\frac{ie^{-ix}}{x} $$
(56). $h_{1}^{(2)}(x)$を知ることができる
$$ h_{1}^{(2)}(x)=-\frac{x-i}{x^2}e^{-ix} $$
(57). $h_{2}^{(2)}(x)$を知ることができる
$$ h_{2}^{(2)}(x)=-\frac{3x-ix(3-x^2)}{x^3}e^{-ix} $$
(58). $j_l(x)$の冪級数展開を知ることができる
$$ j_l(x)=(2x)^l\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^m(l+m)!}{m!(2l+2m+1)!}x^{2m} $$
(59). $n_l(x)$の冪級数展開を知ることができる
$$ n_l(x)=-\frac{1}{2^l x^{l+1}}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{\Gamma(2l-2m+1)}{m!\Gamma(l-m+1)}x^{2m} $$
(60). $j_0(x)$と$n_0(x)$の関係式を知ることができる
$$ \left(j_0(x)\right)^2+\left(n_0(x)\right)^2=\frac{1}{x^2} $$
(61). $j_1(x)$と$n_1(x)$の関係式を知ることができる
$$ \left(j_1(x)\right)^2+\left(n_1(x)\right)^2=\frac{1+x^2}{x^4} $$
(62). $|x|\longrightarrow 0$での$j_l(x)$の漸近形を知ることができる
$$ j_l(x)\sim \frac{x^l}{(2l+1)!!} $$
(63). $|x|\longrightarrow 0$での$n_l(x)$の漸近形を知ることができる
$$ n_l(x)\sim -\frac{(2l-1)!!}{x^{l+1}} $$
(64). $|x|\longrightarrow 0$での$h_{l}^{(1)}(x)$の漸近形を知ることができる
$$ h_{l}^{(1)}(x)\sim -\frac{i(2l-1)!!}{x^{l+1}} $$
(65). $|x|\longrightarrow 0$での$h_{l}^{(2)}(x)$の漸近形を知ることができる
$$ h_{l}^{(1)}(x)\sim \frac{i(2l-1)!!}{x^{l+1}} $$
(66). $|x|\longrightarrow \infty$での$j_l(x)$の漸近形を知ることができる
$$ j_l(x)\sim \frac{\cos\left(x-\frac{l+1}{2}\pi\right)}{x} $$
(67). $|x|\longrightarrow \infty$での$n_l(x)$の漸近形を知ることができる
$$ n_l(x)\sim \frac{\sin\left(x-\frac{l+1}{2}\pi\right)}{x} $$
(68). $|x|\longrightarrow \infty$での$h_l^{(1)}(x)$の漸近形を知ることができる
$$ h_l^{(1)}(x)\sim (-i)^{l+1}\frac{e^{ix}}{x} $$
(69). $|x|\longrightarrow \infty$での$h_l^{(2)}(x)$の漸近形を知ることができる
$$ h_l^{(2)}(x)\sim i^{l+1}\frac{e^{-ix}}{x} $$
(70). 一般の球Bessel関数$u_l(x)$の漸化式を知ることができる
$$ u_{l-1}(x)+u_{l+1}(x)=\frac{2l+1}{x}u_l(x) $$
(71). 一般の球Bessel関数$u_l(x)$の漸化式を知ることができる
$$ \frac{du_l(x)}{dx}=\frac{l}{x}u_l(x)-u_{l+1}(x) $$
変形Bessel関数の王 変形Bessel関数キング
(72). 一般の変形Bessel関数$w_l(x)$の満たすべき微分方程式を知ることができる.
$$ \left[\frac{d^2}{dx^2}+\frac{1}{x}\frac{d}{dx}-\left(1+\frac{l^2}{x^2}\right)\right]w_l(x)=0 $$
第１種変形Bessel関数を$I_l(x)$, 第２種変形Bessel関数を$K_l(x)$と書く.
(73). 第１種変形Bessel関数を$I_l(x)$の冪級数展開を知ることができる
$$ I_l(x)=\left(\frac{x}{2}\right)^l\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x/2)^n}{n!\Gamma(l+n+1)} $$
(74). 第２種変形Bessel関数を$K_l(x)$の表示を知ることができる
$$ K_l(x)=\frac{\pi}{2}\frac{I_{-l}(x)-I_l(x)}{\sin\pi l} $$
(75). $I_l(x)$の漸化式を知ることができる
$$ I_{l-1}(x)-I_{l+1}(x)=\frac{2l}{x}I_{l}(x) $$
(76). $K_l(x)$の漸化式を知ることができる
$$ K_{l-1}(x)-K_{l+1}(x)=-\frac{2l}{x}K_l(x) $$
(77). $I_l(x)$の漸化式を知ることができる
$$ I_{l-1}(x)+I_{l+1}(x)=2\frac{dI_l}{dx}(x) $$
(78). $K_l(x)$の漸化式を知ることができる
$$ K_{l-1}(x)+K_{l+1}(x)=-2\frac{dK_l}{dx}(x) $$
Bessel関数の積分の王 Bessel関数の積分キング
(79). $J_l(x)$の積分表示を知ることができる
$$ J_l(x)=\frac{1}{\pi i^l}\int_{0}^{\pi}d\theta \cos n\theta e^{ix\cos\theta} $$
(80). $J_0(x)$の積分表示を知ることができる
$$ J_0(x)=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}d\theta e^{ix\cos\theta} $$
(81). $J_0(x)$の積分表示を知ることができる
$$ J_0(x)=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{1}\frac{\cos xt}{\sqrt{1-t^2}} $$
(82). $J_0(\sqrt{z^2-y^2})$の積分表示を知ることができる
$$ J_0(\sqrt{z^2-y^2})=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}e^{y\cos\theta}\cos(x\sin\theta) d\theta $$
(83). $\left[J_l(x)\right]^2$の積分表示を知ることができる
$$ \left[J_l(x)\right]^2=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}J_{2l}(2x\sin\theta)d\theta $$
(84). $N_l(x)$の積分表示を知ることができる
$$ N_l(x)=-\frac{2}{\pi}\int_{1}^{\infty}\frac{\cos xt}{\sqrt{t^2-1}}dt $$
(85). $j_l(x)$の積分表示を知ることができる
$$ j_l(x)=\frac{1}{2i^l}\int_{-1}^{1}dte^{ixt}P_l(t) $$
(86). $\int_{0}^{\infty}\sin axJ_l(bx)$を知ることができる
$0\leq a \leq b$のとき, $\phi\equiv \arcsin(b/a)$として
$$ \int_{0}^{\infty}\sin axJ_l(bx)=(b^2-a^2)^{1/2}\sin(l\phi) $$
$0\leq b \leq a$のとき,
$$ \int_{0}^{\infty}\sin axJ_l(bx)=b^l(a^2-b^2)^{-1/2}(a+\sqrt{a^2-b^2})^{-l}\cos(l\pi/2) $$
(87). $\int_{0}^{\infty}K_0(bx)\cos axdx$を知ることができる
$a>\mathrm{Im}b $のとき
$$ \int_{0}^{\infty}K_0(bx)\cos axdx=\frac{\pi}{2}(a^2+b^2)^{-1/2} $$
(88). $j_l(x)$の直交性を知ることができる
$$ \int_{-\infty}^{\infty}dxj_l(x)j_m(x)=\frac{\pi}{2l+1}\delta_{lm} $$
(89). $\left[J_l(x)\right]^2$の無限和を知ることができる
$$ \sum_{n=-\infty}^{\infty}\left[J_n(x)\right]^2=1 $$
(90). $\left[lJ_l(x)\right]^2$の無限和を知ることができる
$$ \sum_{n=-\infty}^{\infty}\left[nJ_n(x)\right]^2=\frac{x^2}{4} $$
(91). $\sin(r\cos\theta)$の展開を知ることができる
$$ \sin(r\cos\theta)=\sum_{l=0}^{\infty}(2l+1)\sin(l\pi/2)j_l(x)P_l(\cos\theta) $$
(92). $\cos(r\cos\theta)$の展開を知ることができる
$$ \cos(r\cos\theta)=\sum_{l=0}^{\infty}(2l+1)\cos(l\pi/2)j_l(x)P_l(\cos\theta) $$
(93). $e^{ikr\cos\theta}$の展開を知ることができる
$$ e^{ikr\cos\theta}=\sum_{l=0}^{\infty}i^l(2l+1)j_l(x)P_l(\cos\theta) $$
(94). $J_0(\sqrt{z^2+\zeta^2-2z\zeta\cos\theta})$ の展開を知ることができる
$$ J_0(\sqrt{z^2+\zeta^2-2z\zeta\cos\theta})=J_0(z)J_0(\zeta)+2\sum_{n=1}^{\infty}J_n(z)J_n(\zeta)\cos\theta $$
(95). 一般の球Bessel関数$u_0(\sqrt{z^2+\zeta^2-2z\zeta\cos\theta})$の展開を知ることができる
$0<|\zeta|<|z|$のとき
$$ u_0(\sqrt{z^2+\zeta^2-2z\zeta\cos\theta})=\sum_{l=0}^{\infty}(2l+1)j_l(\zeta)u_l(z)P_l(\cos\theta) $$
(96). $J_l(z)$の積分表示を知ることができる
$$ J_l(z)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\cos(l\theta-x\sin\theta)d\theta $$
(97). $J_l(z)$の積分表示を知ることができる
$$ J_l(z)=\frac{1}{2\pi}\int_{\alpha}^{2\pi+\alpha}\exp\left[i(l\theta-x\sin\theta)\right]d\theta $$
(98). $j_l(x)$の積分表示を知ることができる
$$ j_{2l}(x)=\frac{(-1)^l}{2}\int_{-1}^{1}dt\cos(xt)P_{2l}(t) $$
(99). $j_{2l+1}(x)$の積分表示を知ることができる
$$ j_{2l+1}(x)=\frac{(-1)^l}{2}\int_{-1}^{1}dt\sin(tx)P_{2l+1}(t) $$
(100). $h_{l}^{(1)}(x)$の積分表示を知ることができる
$$h_{l}^{(1)}(x)=-\frac{1}{i^l}\int_{1}^{i\infty}e^{ixt}P_l(t)dt $$
むすびに
ここまで岩波 数学公式III 特殊関数を買うべき理由を100個紹介しました. ここまで読めばむしろ買わなくて良さそうですね. でもブックマークするくらいなら買えばいいだろ