方針
コーシー・シュバルツの不等式：
\mathbb{E}_{X\sim f_X}[(X-\mu_X)^2]\mathbb{E}_{Y\sim f_Y}[(Y-\mu_Y)^2]\geq\mathbb{E}_{X\sim f_X,Y\sim f_Y}[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)]^2
を証明する．これより，相関係数：
Corr(X,Y)=\frac{\mathbb{E}_{X\sim f_X,Y\sim f_Y}[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)]}{\sqrt{\mathbb{E}_{X\sim f_X}[(X-\mu_X)^2]}\sqrt{\mathbb{E}_{Y\sim f_Y}[(Y-\mu_Y)^2]}}
について，
|Corr(X,Y)|\leq 1
が成り立つ．問題では，tについての二次関数：
h(t)= \mathbb{E}_{X\sim f_X,Y\sim f_Y}[\{(X-\mu_X)-t(Y-\mu_Y)\}^2]
の判別式を求めることでコーシー・シュワルツの不等式を証明する．
答案
tについての二次関数：
\begin{align}
h(t)&= \mathbb{E}_{X\sim f_X,Y\sim f_Y}[\{(X-\mu_X)-t(Y-\mu_Y)\}^2]\\
&= t^2\mathbb{E}_{Y\sim f_Y}[(Y-\mu_Y)^2]-2t\mathbb{E}_{X\sim f_X,Y\sim f_Y}[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)]+\mathbb{E}_{X\sim f_X}[(X-\mu_X)^2]
\end{align}
について，定義より，任意のtに対し，
h(t)\geq 0
が成り立つので，二次方程式h(t)=0の判別式をDとおくと，
D=4(\mathbb{E}_{X\sim f_X,Y\sim f_Y}[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)])^2-4\mathbb{E}_{X\sim f_X}[(X-\mu_X)^2]\mathbb{E}[(Y-\mu_Y)^2]\leq 0
なので，コーシー・シュワルツの不等式が証明された．
次に，コーシー・シュワルツの不等式の等号成立条件を考える．h(t)を平方完成して，
\begin{align}
h(t)&= t^xVar(Y)-2tCov(X,Y)+Var(X)\\
&= Var(Y)\{t^2-2t\frac{Cov(X,Y)}{Var(Y)}\}+Var(X)\\
&= Var(Y)(t-\frac{(Cov(X,Y)}{Var(Y)})^2-\frac{\{Cov(X,Y)\}^2}{Var(Y)}+Var(X)
\end{align}
より，
-\frac{\{Cov(X,Y)\}^2}{Var(Y)}+Var(X)=0
の時h(t)=0なので，
Cov(X,Y)=\pm\sqrt{Var(X)}\sqrt{Var(Y)}
の時等号成立．
参考文献
- 『現代数理統計学の基礎』(久保川達也 著)