方針
以後，確率変数Xの分布関数と密度関数をそれぞれ
F_X(x),\ f_X(x)
と表記することにする．連続値を取る確率変数Xに対し，分布関数の定義は，「確率変数Xがある定数x以下の値を取る確率」であり，
F_X(x)=P[X\leq x]
である．次に，確率密度関数について考える．離散確率変数Xに対し，確率関数とは，「確率変数Xがある定数xとなる確率」であり，
f_X(x)=P[X=x]
であった．しかし，連続確率変数Xに対してP[X=x]を定義しようとすると，その値は無限小に発散してしまう．そこで，連続確率変数に対しては，確率密度関数を「分布関数の微分」として定義することで，確率関数P[X=x]を代用する．
f_X(x)=\frac{d}{dx}F_X(x)
確率密度関数の定義により，分布関数と確率密度関数には次のような関係が成り立つ．
F_X(x)=\int_{-\infty}^x f_X(t)dt
ただし，積分範囲の下限はXの定義域の下限．従って，確率密度関数Xを定義域全体での積分する，ということは，「Xが定義域のいずれかの値を取る確率」という意味なので，自明に1となる．(全確率1)
\int_{-\infty}^\infty f_X(x)dx=1
ただし，積分の上限と下限はXの定義域の上限と下限．本問では以上のことを用いる．
答案
1.
全確率1より，
\begin{align}
\int_0^2 f_X(x)dx&= \int_0^x Cx^3dx\\
&= \left[\frac{C}{4}x^4\right]_0^2\\
&= 4C=1
\end{align}
となるので，正規化定数は
C=\frac{1}{4}
また，分布関数は，
\begin{align}
F_X(x)&= \int_0^x\frac{1}{4}t^3dt\\
&= \left[\frac{1}{16}t^4\right]_0^x\\
&= \frac{1}{16}x^4
\end{align}
2.
全確率1より
\begin{align}
\int_{-\infty}^\infty f_X(x)&= \int_{-\infty}^\infty Ce^{-|x|}dx\\
&= \int_0^\infty Ce^{-x}dx+\int_{-\infty}^0 Ce^xdx\\
&= \left[-Ce^{-x}\right]_0^\infty+\left[Ce^{x}\right]_{-\infty}^0\\
&= 2C=1
\end{align}
となるので，正規化定数は
C=\frac{1}{2}
また，分布関数は，
F_X(x)=\int_{-\infty}^x\frac{1}{2}e^{-|t|}dt\tag{1}
(i)0<xの時，
\begin{align}
(1)&= \int_0^x\frac{1}{2}e^{-t}dt+\int_{-\infty}^0\frac{1}{2}e^tdt\\
&= \left[-\frac{1}{2}e^{-t}\right]_0^x+\left[\frac{1}{2}e^t\right]_{-\infty}^0\\
&= –\frac{1}{2}e^{-x}+1
\end{align}
(ii) x<0の時，
\begin{align}
(1)&= \int_{-\infty}^x\frac{1}{2}e^tdt\\
&= \left[\frac{1}{2}e^t\right]_{-\infty}^x\\
&= \frac{1}{2}e^x
\end{align}
(i),(ii)より，
F_X(x)=\begin{cases}
–\frac{1}{2}e^{-x}+1\ \ \ \ \ \ \ 0<x\\
\frac{1}{2}e^x\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x<0
\end{cases}
3.
全確率1より，
\begin{align}
\int_0^\infty f_X(x)dx&= \int_0^\infty Ce^{-2x}dx\\
&= \left[-\frac{C}{2}e^{-2x}\right]_0^\infty\\
&= \frac{C}{2}=1
\end{align}
となるので，正規化定数は，
C=2
また，分布関数は
\begin{align}
F_X(x)&= \int_0^x2e^{-2t}dt\\
&= \left[2e^{-2t}\right]_0^x\\
&= -e^{-2x}+1
\end{align}
4.
\int_0^\infty f_X(x)dx=\int_0^\infty Ce^{-x}e^{-e^{-x}}dx\tag{1}
u=e^{-x}と置換することで，
\begin{align}
(1)&= \int_1^0-Ce^{-u}du\\
&= \left[Ce^{-u}\right]_1^0\\
&= C-Ce^{-1}
\end{align}
全確率1より，正規化定数は
C=\frac{1}{1-e^{-1}}
また，分布関数は
F_X(x)=\int_0^x\frac{1}{1-e^{-1}}e^{-t}e^{-e^t}dt\tag{2}
u=e^{-t}と置換することで，
\begin{align}
(2)&= \int_1^{e^{-x}}-\frac{1}{1-e^{-1}}e^{-u}du\\
&= \left[\frac{1}{1-e^{-1}}e^{-u}\right]_1^{e^{-x}}\\
&= \frac{e^{-e^{-x}}-e^{-1}}{1-e^{-1}}
\end{align}
参考文献
- 『現代数理統計学の基礎』(久保川達也 著)