方針
指数分布について書く．指数分布は「微小単位時間あたり平均lambda回発生する事象が，ある時点から次に発生するまでにx単位時間かかる」確率を示す分布である．
Exp(\lambda)=Ga(1,\lambda)
と考えれば確率密度関数を覚えなくて済む．確率変数Xが指数分布に従う時，生存確率P[s<=X]は「ある時点からs単位時間以上，事故が起こらずに(故障せずに)生存する(動作する)確率」である．確率密度関数は，
f_X(x)=\lambda\exp(-\lambda x),\ \ \ \ 0<x
分布関数は，
\begin{align}
F_X(x)&= \int_0^x\lambda\exp(-\lambda t)dt\\
&= \left[-\exp(-\lambda t)\right]_0^x\\
&= -\exp(-\lambda x)+1
\end{align}
生存確率は，
P[s\leq X]=1-(-\exp(-\lambda s)+1)=e^{-\lambda s}
条件付き生存確率(s単位時間生存したとすると，そこからさらにt単位時間生存する確率)は，
\begin{align}
P[X\geq s+t|X\geq s]&= \frac{P[X\geq s+t\land X\geq s]}{P[X\geq s]}\\
&= \frac{P[X\geq s+t]}{P[X\geq s]}\\
&= \frac{e^{-\lambda(s+t)}}{e^{-\lambda s}}\\
&= e^{-\lambda t}\\
&= P[X\geq t]
\end{align}
となる．これらのことに関連して，ハザード関数を定義する．ハザード関数は，x単位時間生存した，という条件のもとで次の瞬間に故障する確率である．微小単位時間をDeltaと置くと，
\begin{align}
\lambda(x)&= \frac{P[x\leq X\leq x+\Delta\ \land\ x\leq X]}{P[x\leq X]}\\
&= \frac{P[x\leq X\leq x+\Delta]}{P[x\leq X]}\\
&\approx \frac{f_X(x)}{1-F_X(x)}
\end{align}
条件付き生存確率において確認した指数分布の無記憶性をハザード関数によって示す．
\lambda(x)=\frac{\lambda\exp(-\lambda x)}{\exp(-\lambda x)}=\lambda
より，ハザード関数は時間xに依存しない．何時間ここまで動作したかに関わらず，次の瞬間故障する確率はlambdaである．問題では，任意の分布関数，確率密度関数がハザード関数によってかけることを示す．
答案
ハザード関数を積分すると，
\begin{align}
\int_0^x\lambda(t)dt&= \int_0^x\frac{f_X(t)}{1-F_X(t)}dt\\
&= \int_0^x\frac{F_X'(t)}{1-F_X(t)}dt\\
&= \left[-\log(1-F_X(t))\right]_0^x\\
&= -\log(1-F_X(x))
\end{align}
より，
\begin{align}
F_X(x)&= 1-\exp\{-\int_0^x\lambda(t)dt\}\\
f_X(x)&= \frac{d}{dx}F_X(x)\\
&= -\exp\{-\int_0^x\lambda(t)dt\}(-\lambda(x))\\
&= \lambda(x)\exp\{-\int_0^x\lambda(t)dt\}
\end{align}
参考文献
- 『現代数理統計学の基礎』(久保川達也 著)