方針
問題文の道筋に乗って計算していく．
答案
\begin{align}
M_X(t)&= \int_0^1(m+1)x^me^{tx}dx\\
&= \int_0^1(m+1)x^m\sum_{k=0}^\infty\frac{(tx)^k}{k!}dx\\
&= \int_0^1(m+1)\sum_{k=0}^\infty\frac{t^kx^{m+k}}{k!}dx\\
&= \left[(m+1)\sum_{k=0}^\infty\frac{t^kx^{m+k+1}}{(m+k+1)k!}\right]_0^1\\
&= \sum_{k=0}^\infty\frac{m+1}{(m+k+1)k!}t^k
\end{align}
したがって，
\begin{align}
\frac{d}{dt}M_X(t)&= \sum_{k=0}^\infty\frac{m+1}{(m+k+1)k!}kt^{k-1}\\
&= \frac{m+1}{m+2}+\sum_{k=3}^\infty\frac{m+1}{(m+k+1)k!}kt^{k-1}\\
\mathbb{E}_{X\sim f_X}[X]&= \left.\frac{d}{dt}M_X(t)\right|_{t=0}=\frac{m+1}{m+2}\\
\frac{d^2}{dt^2}M_X(t)&= \sum_{k=0}^\infty\frac{m+1}{(m+k+1)k!}k(k-1)t^{k-2}\\
&= \frac{m+1}{m+3}+\sum_{k=4}^\infty\frac{m+1}{(m+k+1)k!}k(k-1)t^{k-2}\\
Var(X)&= \frac{m+1}{m+3}-\frac{(m+1)^2}{(m+2)^2}\\
&= \frac{m+1}{(m+2)^2(m+3)}
\end{align}
参考文献
- 『現代数理統計学の基礎』(久保川達也 著)