方針
いずれもtについての一変数関数なので，前半は平方完成，後半は微分して0と置くことで最小値を計算する．定積分の微分について，以下であることを用いる．
\frac{d}{dx}\int_a^xf(t)dt=f(x)
また，「分布f_Xに従う確率変数Xについての期待値」を，次のように書くことにする．
\mathbb{E}_{X\sim f_X}
答案
\begin{align}
\mathbb{E}_{X\sim f_X}[(X-t)^2]&= \mathbb{E}_{X\sim f_X}[X^2]-2t\mathbb{E}_{X\sim f_X}[X]+t^2\\
&= (t-\mathbb{E}_{X\sim f_X}[X])^2+\mathbb{E}_{X\sim f_X}[X^2]-(\mathbb{E}_{X\sim f_X}[X])^2
\end{align}
より，
\arg\min_t\mathbb{E}_{X\sim f_X}[(X-t)^2]=\mathbb{E}_{X\sim f_X}[X]
となる．次に，
\begin{align}
\mathbb{E}_{X\sim f_X}[|X-t|]&= \int_{–\infty}^\infty|x-t|f_X(x)dx\\
&= \int_t^\infty(x-t)f_X(x)dx-\int_{-\infty}^t(x-t)f_X(x)dx\\
&= \int_t^\infty xf_X(x)dx-t\int_t^\infty f_X(x)dx-\int_{-\infty}^txf_X(x)dx+t\int_{-\infty}^tf_X(x)dx\\
&= (\int_t^\infty xf_X(x)dx-\int_{-\infty}^txf_X(x)dx)-t(\int_t^\infty f_X(x)dx-\int_{-\infty}^tf_X(x)dx)\\
&= (\mathbb{E}_{X\sim f_X}[X]-2\int_{-\infty}^txf_X(x)dx)-t(1-2\int_{-\infty}^tf_X(x)dx)
\end{align}
と変形できる．これをtについて微分して0と置く．
\begin{align}
\frac{\partial\mathbb{E}_{X\sim f_X}[|X-t|]}{\partial t}&= -2tf_X(t)-(1-2\int_{-\infty}^tf_X(x)dx)+2tf_X(t)=0\\
\Rightarrow \int_{-\infty}^t f_X(x)dx&= \frac{1}{2}
\end{align}
ゆえ，E[|X-t|]を最小化するtは，P[X<1/2]=tとなるような点，すなわちXの分布の中央値である．
参考文献
- 『現代数理統計学の基礎』(久保川達也 著)