方針
偶関数，奇関数について解説する．
偶関数，奇関数
実数直線上に定義する関数f(x)が
f(-x)=f(x)
を満たす時，fは偶関数であると言い，fのグラフはy軸で対称となる．またf(x)が
f(-x)=-f(x)
を満たす時，fは奇関数であると言い，fのグラフは原点で対称となる．
奇関数の積分は0であることを用いる．
答案
g(x)=\frac{x^k}{\sqrt2\pi}\exp(-\frac{x^2}{2})
と置くと，kが奇数の時
\begin{align}
g(-x)&= \frac{(-x)^k}{\sqrt{\sqrt{2\pi}}}\exp(-\frac{(-x)^2}{2})\\
&= \frac{-x^k}{\sqrt{2\pi}}\exp(-\frac{x^2}{2})\\
&= -g(x)
\end{align}
より，gは奇関数なので
\mathbb{E}_{X\sim\mathcal{N}(0,1)}[X^k]=\int_{-\infty}^\infty g(x)dx=0
kが偶数の時，Y=X^2と置くと
\begin{align}
\mathbb{E}_{X\sim\mathcal{N}(0,1)}[X^k]&= \mathbb{E}_{Y\sim\chi_1^2}[Y^{k/2}]\\
&= \int_0^\infty\frac{(\frac{1}{2}^{1/2}}{\Gamma(\frac{1}{2})}y^{\frac{k+1}{2}-1}\exp(-\frac{1}{2}y)\\
&= \frac{(\frac{1}{2})^{1/2}}{\Gamma(\frac{1}{2})}\frac{\Gamma(\frac{k+1}{2})}{(\frac{1}{2})^{\frac{k+1}{2}}}\int_0^\infty\frac{(\frac{1}{2})^{\frac{k+1}{2}}}{\Gamma(\frac{k+1}{2}}y^{\frac{k+1}{2}-1}\exp(-\frac{1}{2}y)dy\\
&= 2^{k/2}\frac{\Gamma(\frac{k+1}{2})}{\Gamma(\frac{1}{2})}
\end{align}
参考文献
- 『現代数理統計学の基礎』(久保川達也 著)