標本の分散共分散行列と相関行列
- 式(22.2)について
標本相関係数の定義についてはp15に記載のとおり
$Z^{\top}Z$のj,k成分は
${\frac{1}{\sqrt{s_{j,j}s_{k,k}}}}{\sum_{i=1}^n}({x_{i,j}}-{\bar{x}_{・,j}})({x_{j,k}}-{\bar{x}_{・,k}}) = (n-1)r_{j,k}$
よって$R=\frac{1}{n-1}Z^{\top}Z$
実対象行列の固有値問題
p165、実対象行列が対角化可能であることの証明
https://www.cck.dendai.ac.jp/math/support/ch6-supp/%E5%AF%BE%E7%A7%B0%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%AE%E7%9B%B4%E4%BA%A4%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%AB%E3%82%88%E3%82%8B%E5%AF%BE%E8%A7%92%E5%8C%96.pdf
トレースの式変形については、以下のURLを参考。
トレースの循環性
https://risalc.info/src/trace-matrix.html#def」
例22.1
(1) 主成分負荷量の式を使用する。
$\sqrt{\lambda_j}*u_{k,j}$（固有値のルート×固有ベクトルjのk番目成分）
主成分分析には分散共分散行列を用いる場合と相関行列を用いる場合で式が微妙に異なることに注意。
今回は相関行列を用いているため、標準偏差で割って標準化する必要がない。
(2)回答のとおり
(3)第一成分は変数に対して負の成分が大きいので、第1成分の主成分得点が強い、つまり左ほど走力に関する能力が高いといえる。
第二成分は正の成分が大きいので、上ほど投げる能力が高い。
よってAが双方の能力が一番強いと見なせるため、優勝はAだと考えられる