例題
14.1
回答の通り
14.2
[1]
推移確率行列Qは下記のように表される。
$Q=\begin{pmatrix}
1/3 & 1/3 & 1/3 \\
1/6 & 1/2 & 1/3 \\
2/9 & 12/9 & 2/3 \\
\end{pmatrix}$
[2]
$π_2
=π_0Q^2=(4/27, 8/27, 5/9)$
これは$4/27+8/27+5/9=1$を満たす
[3]
定常分布が存在するとき、$π_i=π_{i+1}=π_iQ$より$π_i=π_iQ$が成立する
$π_i=(a_i,b_i,c_i)$とおいて、これを解くと、$π_i=(1/6,1/3,1/2)$が得られる。
よって定常分布$π$が存在する。
14.3
[1]
状態空間は$S={0,1,2}$、初期確率は$π_0=(0,1,0)$である。また、遷移確率Qは下記のように表せる。
$Q=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 \\
0 & 1-\theta & \theta \\
1-\theta & \theta & 0 \\
\end{pmatrix}$
[2]
尤度L(θ)は下記のように計算できる。
$L(θ)=(1−θ)×θ×(1−θ)×1×θ×(1−θ)×(1−θ)=θ^2(1−θ)^4$
$\log{L(\theta)}=2\log(\theta)+4\log(1-\theta)$
右辺を微分して
$\frac{2}{\theta}-\frac{4}{1-\theta}=\frac{2-6\theta}{\theta(1-\theta)}$
これが0となるのは$θ=1/3$のとき
[3]
$π=πQ$を解くと、$a=1/4$が得られる。