スライディングモード微分器とは？
漸近安定となるリアプノフ関数。スライディング面（あるいは線）と称される箇所にむかって、制御するという例の現在制御です。
現代制御のなかでは割とロバストで実用的な制御の１つですが、実は微分器にもなります。
スライディングモード制御そのものの解説は他の方に 丸投げ お任せしようと思います。
良記事を紹介します。
微分器とは？
読んで字のごとく微分を行う装置や計算モジュールです。
異なる時間に測定した複数の位置から速度を計算したりします。（いわいる時間微分）
産業用途では時間微分を計算することが多いかなという印象です。
しかしこの微分は、それ自体がノイズを増幅する性質があるうえ、PCなどのデジタル化されていると数値が量子化され、時間的にも連続的な微分ができずここでもノイズが発生するなど、意外と厄介者です。
たとえば普通に微分（差分）すると、↓の図の黄色線のように、パルス状のノイズが発生します。
対策としては一般的には平均や平滑化（ローパスフィルター）を行います。
しかし、位相の遅れが発生しますし、完全に元の波形を再現することは困難です。
↓ ローパスフィルターを行った例
今回はスライディングモード制御を応用した微分器を紹介と簡単な解説します。
スライディングモード微分器の一般式
ひとまずスライディングモード微分器の一般式を記載します。
\begin{cases}
\dot{x}_1 = x_2 - k_1 |x_1 - f(t)|^{1/2} \text{sgn}(x_1 - f(t)) \\
\dot{x}_2 = -k_2 \text{sgn}(x_1 - f(t))
\end{cases}
おおう...という感じですが、順に説明してみようと思います。
解説
解説というよりも解釈に近いのですが、簡単に説明してみます。
まず、元の式だと少し読みづらいので、$x_1 - f(t)$を誤差として下記のように直してみます。
\begin{flalign*}
&error = x_1 - f(t) \\
&\dot{x}_1 = x_2 - k_1 |error|^{1/2} \text{sgn}(error) \\
&\dot{x}_2 = -k_2 \text{sgn}(error)
\end{flalign*}
この${x}_1$と${x}_2$は一種の内部推定値であり、それぞれ以下の意味となります。
- ${x}_1$ ＝ 測定値$f(t)$と一致する（したい）推定値
- ${x}_2$ ＝ 推定値の一階微分値
よって、$error = x_1 - f(t)$は、内部推定値と測定値の誤差を表します。
つまりは測定値と内部推定値${x}_1$を一致（$error=0$)させるように${x}_1$・${x}_2$を符号関数sgnでスイッチングさせるイメージです。
なお、${x}_2$がスライディングモード微分器での計算結果（得られる微分値）です。
式の形を見ると分かる通り、ゲイン${k}_1$・${k}_2$の設定が非常に重要です。これを不適切に設定すると容易に発散します。
ただ、リアプノフ安定性条件もすでにわかっており、ゲインは$k_1 > \sqrt{k_2}$で設定すればokとのことです。
一般的には安全マージンをみて、$k_1 > 1.5\sqrt{k_2}$が推奨されるようです。
ちなみに、式の形としては、そのまんまスーパーツイスティング スライディングモード制御の応用です。
スーパーツイスティング スライディングモード制御は以下の式で、
\begin{flalign*}
&u(t) = -k_1 |s(t)|^{1/2} \text{sgn}(s(t)) + v(t) \\
&\dot{v}(t) = -k_2 \text{sgn}(s(t))
\end{flalign*}
この式の$s(t)$がリアプノフ関数を通して得られたスライディング面（線）からの距離を示します。
スーパーツイスティング スライディングモード制御は距離$s(t)$とその一階微分の速度をゼロとする制御ですが、ここにもリアプノフが隠れていて、このときのリアプノフ安定条件としては同じく $k_1 > \sqrt{k_2}$ となります。
実装
ということでサクッとpythonで実装していきます。
概念コード
まずは以下の式を概念レベルでコーディングしてみます。
\begin{flalign*}
&error = x_1 - f(t) \\
&\dot{x}_1 = x_2 - k_1 |error|^{1/2} \text{sgn}(error) \\
&\dot{x}_2 = -k_2 \text{sgn}(error)
\end{flalign*}
import math
def sgn(x):
if x > 0:
return 1.0
elif x < 0.0:
return -1.0
else:
return 0.0
error = x1 - measurement
dx1 = x2 - k1 * math.sqrt(math.fabs(error)) * sgn(error)
dx2 = -k2 * sgn(error)
このままでは$\dot{x}_1$・$\dot{x}_2$つまり一階微分の値なので、積分して${x}_1$・${x}_2$にしてあげます。
x1 += dx1 * dt
x2 += dx2 * dt
これで概念コードとしては完成です。
とてもシンプルですね！
実用的な実装
ということで、もう少し実用的な実装をしてみます。
import math
class SlidingModeDifferentiator:
def __init__(self, k1=1.5, k2=1.0, dt_sec=1.0):
self.k1 = k1
self.k2 = k2
self.dt_sec = dt_sec
self.x1 = 0.0
self.x2 = 0.0
#sgn関数
def sgn(self, x):
if x > 0:
return 1.0
elif x < 0.0:
return -1.0
else:
return 0.0
#処理
def process(self,measurement):
error = self.x1 - measurement
dx1 = self.x2 - self.k1 * math.sqrt(math.fabs(error)) * self.sgn(error)
dx2 = -self.k2 * self.sgn(error)
self.x1 += dx1 * self.dt_sec
self.x2 += dx2 * self.dt_sec
return self.x2
if __name__ == "__main__":
smd = SlidingModeDifferentiator(k1=1.0, k2=0.10, dt_sec=1.0)
for x in range(100):
print(smd.process(x))
これでも良いですが、sgn関数を連続近似に変更することも可能です。
ここではtanhに変更してみます。
import math
class SlidingModeDifferentiator:
def __init__(self, k1=1.5, k2=1.0, dt_sec=1.0):
self.k1 = k1
self.k2 = k2
self.dt_sec = dt_sec
self.x1 = 0.0
self.x2 = 0.0
def process(self,measurement):
error = self.x1 - measurement
tanh_value = math.tanh(error*3.0)
dx1 = self.x2 - self.k1 * math.sqrt(math.fabs(error)) * tanh_value
dx2 = -self.k2 * tanh_value
self.x1 += dx1 * self.dt_sec
self.x2 += dx2 * self.dt_sec
return self.x2
if __name__ == "__main__":
smd = SlidingModeDifferentiator(k1=1.0, k2=0.10, dt_sec=1.0)
for x in range(100):
print(smd.process(x))
tanhのx3の係数はお好みで1～5程度で調整してください。
大きいほどsgn関数に近づきます。
実行結果
sin波形+ノイズでのテスト結果です。
緑が真値、青が今回手法であるスライディングモード微分器です。
比較用に差分+ローパスフィルターを黄色で示します。
同程度の位相遅れであれば、スライディングモード微分器のほうが優秀そうですね。
ノイズを抑えつつピーク値が取れているのはgoodです。
ただゲイン調整が難しいです。
対象の周波数や振幅が変わるとゲインも調整する必要があります。
ある程度、動きが読めるものにしか適用が難しいかな、と思います。
反面ノイズ量については耐性が高い感じです。多少ノイズ量が変わっても特段の調整はいらない感じでした。
現物合わせでゲイン調整はかなり困難なので、使う時は実際の測定データを入手して机上でゲイン検討を推奨します。
k1を固定しつつ、k2を調整というアプローチが良いようです。
私の場合、まずk1を調整して振幅をあわせつつ、k2を調整して好みの位相を探しました。
動きの少ない対象であれば、k2をかなり小さめ（0.1、0.01など）にする場合もあるようです。
おわりに
ということでスライディングモード微分器の解説？でした。
スライディングモード微分器はあまり日本語記事が少ないので参考になれば幸いです。
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そのうちスライディングモード制御の解説も書いてみたいですね。
他にも制御ライクな記事を書いていますので、興味があれば読んでみてください。
それではまた。