※ 本記事のきっかけは、「よく分かる量子力学（前野昌弘）」の第12章「12.1. 3次元極座標のシュレディンガー方程式」に出てきた極座標変換の式をもっと機械的に導出できないのかなと思ったことです。
通常のデカルト座標 $(x, y, z)$ と極座標 $(r, \theta, \phi)$ は次式の関係で結ばれている。
\begin{align}
x &= r\sin\theta\cos\phi \\
y &= r\sin\theta\sin\phi \\
z &= r\cos\theta \\
\end{align}
本記事の目的は、デカルト座標系のベクトル $\vec{A} = (A_x, A_y, A_z)$ を極座標系のベクトル $(A_r, A_\theta, A_\phi)$ に変換する式を導出することである。
多様体の理論で出てくる接ベクトルの表記法を用いると、ベクトル $A$ は次のように表記できる。
\begin{align}
A &= A_x\frac{\partial}{\partial x} + A_y\frac{\partial}{\partial y} + A_z\frac{\partial}{\partial z} \\
&= A'_r\frac{\partial}{\partial r} + A'_\theta\frac{\partial}{\partial\theta} + A'_\phi\frac{\partial}{\partial\phi}
\end{align}
ここで極座標のベクトル成分にダッシュ（$'$）を付けたのは、極座標ベクトルの基底
\frac{\partial}{\partial r}, \frac{\partial}{\partial\theta}, \frac{\partial}{\partial\phi}
が正規直交基底になっていないためである。上記の基底ベクトルは直交はしているものの、デカルト座標系におけるノルムは1ではない。そのため、後のほうでこれらの基底ベクトルを単位ベクトルに正規化する操作を行う。
（実は今回ハマったのはこの正規化であった。この程度の座標変換式なんて簡単に導出できるだろうと高をくくって計算を始めたのだが、教科書の式と答えが合わなくて随分焦った。単位ベクトルに正規化されていないことに気づいて漸く教科書の式と一致する式を導出することが出来た。）
ではこれらの基底ベクトルの変換式を計算しよう。
\begin{align}
\begin{pmatrix}
\frac{\partial}{\partial r} \\
\frac{\partial}{\partial\theta} \\
\frac{\partial}{\partial\phi}
\end{pmatrix}
&=
\begin{bmatrix}
\frac{\partial x}{\partial r} &\frac{\partial y}{\partial r} &\frac{\partial z}{\partial r} \\
\frac{\partial x}{\partial\theta} &\frac{\partial y}{\partial\theta} &\frac{\partial z}{\partial\theta} \\
\frac{\partial x}{\partial\phi} &\frac{\partial y}{\partial\phi} &\frac{\partial z}{\partial\phi} \\
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
\frac{\partial}{\partial x} \\
\frac{\partial}{\partial y} \\
\frac{\partial}{\partial z}
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{bmatrix}
\sin\theta\cos\phi & \sin\theta\sin\phi & \cos\theta \\
r\cos\theta\cos\phi & r\cos\theta\sin\phi & -r\sin\theta \\
-r\sin\theta\sin\phi & r\sin\theta\cos\phi & 0
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
\frac{\partial}{\partial x} \\
\frac{\partial}{\partial y} \\
\frac{\partial}{\partial z}
\end{pmatrix}
\end{align}
次に極座標の基底ベクトルを正規化する。そのために基底ベクトルのデカルト座標系でのノルムを計算しよう。
\begin{align}
\|\frac{\partial}{\partial r}\|^2 &= (\sin\theta\cos\phi)^2 + (\sin\theta\sin\phi)^2 + \cos^2\theta &=& 1 \\
\|\frac{\partial}{\partial\theta}\|^2 &= (r\cos\theta\cos\phi)^2 + (r\cos\theta\sin\phi)^2 + (-r\sin\theta)^2 &=& r^2 \\
\|\frac{\partial}{\partial\phi}\|^2 &= (-r\sin\theta\sin\phi)^2 + (r\sin\theta\cos\phi)^2 &=& (r\sin\theta)^2 \\
\end{align}
以上の計算により、正規化された極座標の基底ベクトルは次式となることが分かる。
\frac{\partial}{\partial r}, \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial\theta}, \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\phi}
従って正規化された基底ベクトルの座標変換式は次式となる。
\begin{pmatrix}
\frac{\partial}{\partial r} \\
\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial\theta} \\
\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\phi}
\end{pmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\sin\theta\cos\phi & \sin\theta\sin\phi & \cos\theta \\
\cos\theta\cos\phi & \cos\theta\sin\phi & -\sin\theta \\
-\sin\phi & \cos\phi & 0
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
\frac{\partial}{\partial x} \\
\frac{\partial}{\partial y} \\
\frac{\partial}{\partial z}
\end{pmatrix}
上式の行列は直交行列であるから、逆行列は単に転置することで得られる。従って上式を逆に解くと次式となる。
\begin{pmatrix}
\frac{\partial}{\partial x} \\
\frac{\partial}{\partial y} \\
\frac{\partial}{\partial z}
\end{pmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\sin\theta\cos\phi & \cos\theta\sin\phi & -\sin\theta \\
\sin\theta\sin\phi & \cos\theta\sin\phi & \cos\phi \\
\cos\theta & -\sin\theta & 0
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
\frac{\partial}{\partial r} \\
\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial\theta} \\
\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\phi}
\end{pmatrix}
この行列は教科書の (12.11) 式に一致している。
さて、ベクトル $A$ はそれぞれの基底を用いて次のように表記できる。
\begin{align}
A &= A_x\frac{\partial}{\partial x} + A_y\frac{\partial}{\partial y} + A_z\frac{\partial}{\partial z} \\
&= A_r\frac{\partial}{\partial r} + A_\theta\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial\theta} + A_\phi\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\phi}
\end{align}
これと上で求めた基底ベクトルの変換式を合わせると、次式の座標変換式が得られる。
\begin{pmatrix} A_r \\ A_\theta \\ A_\phi \end{pmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\sin\theta\cos\phi & \sin\theta\sin\phi & \cos\theta \\
\cos\theta\cos\phi & \cos\theta\sin\phi & -\sin\theta \\
-\sin\phi & \cos\phi & 0
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix} A_x \\ A_y \\ A_z \end{pmatrix}
以上で教科書の (12.15) 式に一致する式が導出できた。