タイトルのまんまなんですが、FileMakerでセキュリティ設定をしてログインする場合、ある一定の時間が経つとまたログインを求められます。

これは、fmreauthenticate10という元々設定されている拡張アクセス権のキーワードが関係しています。

FileMaker Proでも、FileMaker Goでも同様です。
特に、FileMaker Goでは、アプリを切り替えて色々と操作することが多いと思います。
バックグラウンドに行った時にいきなりファイルが終わってしまうということはなくずーっと起きて色々やってくれています。（いわゆるマルチタスク）

システムにログインして何も操作していない時、デフォルトで10分間は再ログインしなくてもファイルを操作できます。
10分過ぎたらまたログインを求められます。

なぜ10分なのか？

fmreauthenticate10の"10"が10分のことを指しているからです！

えーって思いますが、そうなんですって、奥さん。

つまり、"10"を違う数字にすれば、その数字分認証が続いていることになります。
"8"にすれば8分、"100"にすれば100分です。
最長10080分！！(168時間=7日!!)
変更は、拡張アクセス権の編集で、末尾の数字を変えるか、新たに末尾を変更したfmreauthenticateを作成して該当のアクセス権セットで拡張アクセス権にチェックを入れるだけです。

用途によっては長い時間でいいのですが、特にFileMaker Goはモバイル端末で稼働することから、使用しているFileMakerアプリが人目にさらされることが多い場合は、短い時間に設定して、不用意にアプリを覗かれないように（ログインできないように）対策をしておくことも大事です。

こちらのFileMaker 19 ヘルプのページが本家ですので、紹介しておきます。
拡張アクセス権の作成と編集