代表的なアルゴリズム

バブルソート
右隣の値と比較して大きい方を右に入れ替える。
これを何セットかループさせると値の昇順になる。

例：　{34, 20, 10, 6} という配列を昇順に並べたいとき、

【1セット目】
・比較1回目：配列0番目と1番目比較→34の方が大きい→ {20, 34, 10, 6}
・比較2回目：配列1番目と2番目比較→34の方が大きい→ {20, 10, 34, 6}
・比較3回目：配列2番目と3番目比較→34の方が大きい→ {20, 10, 6, 34}

【2セット目】
・比較1回目：配列0番目と1番目比較→20の方が大きい→ {10, 20, 6, 34}
・比較2回目：配列1番目と2番目比較→20の方が大きい→ {10, 6, 20, 34}
※配列2番目と3番目の比較はする必要ない！
なぜなら、1セット目で一番大きい値をセットしたため、3番目の方が大きいという答えはもう出ている。比較しても絶対に入れ替えは発生しない。

【3セット目】
・比較1回目：配列0番目と1番目比較→10の方が大きい→ {6, 10, 20, 34}
※こちらも同様で、1～2セット目で大きい値をセットした文との比較は必要ない。
よってここで終了。

といった流れで昇順ソートができる。
これをコードに当てはめると…

// 何かしらの配列
int[] array = {};
for (int i = 0; i < array.length - 1; i++){
    for (int j = 0; j < array.length - (i + 1); j++) {
        if (array[j] > array[j + 1]) {
            // array[j]とarray[j+1]を入れ替える処理
        }
    }
}

この外側のforは「セット数」
配列の要素数(length) -1 回

for (int i = 0; i < array.length - 1; i++){

内側のforは「比較回数」
配列の要素数(length) - その時のセット数(可変していくiは0始まりのため+1で辻褄合わせ)

for (int j = 0; j < array.length - (i + 1); j++) {

フィッシャーイェーツ
数字をランダムに並べ替えたいとき。
※雑ですが取り急ぎのメモ。

import java.util.Arrays;
import java.util.Random;

public class Fukusyu4 {
    public static void main (String[] args) {
        int[] numbers = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10};

        Random random = new Random();

        //要素数の大きいインデックスから順にカウントダウン（10個目→9個目・・・）
        //長さ(要素数)は10個だが、配列番号(インデックス)は0から始まるため、辻褄を合わせるために-1する。
        //このi は、配列のインデックス数を指定するために使う！
        for (int i = numbers.length -1; i > 0; i --) {

            //0からi+1(この場合10)までのランダムな整数を生成。要素が０始まりだから+1
            //random.nextInt(値) ⇒指定した値未満の範囲でランダムな整数を生成
            int rNum = random.nextInt(i + 1);

            //tempに選択中の要素（インデックス大きい順）を退避
            int temp = numbers[i];
            //元の場所（右端）に、ランダム生成された要素番号の数字を格納
            numbers[i] = numbers[rNum];
            //入れ替え
            numbers[rNum] = temp;
        }
        System.out.println("シャッフル後： " + Arrays.toString(numbers));
    }
}