量子コンピュータの基本 - エルミート行列の固有値が実数であることの確認

Posted at 2021-06-05

この記事の目的

量子コンピュータ理論の基本、または線形代数の基本である公理「エルミート行列の固有値は実数である」ことについて、具体的に確認します。

では、さっそく数式を用いて確認します。

行列$A$をエルミート行列、列ベクトル$X$を固有ベクトル、$\lambda$を固有値(スカラー値)とすると、固有値・固有ベクトルの関係から、以下のように表すことができます。

AX = \lambda X

両辺に左から、$X$のエルミート共役行列である$X^\dagger$をかけます。

\begin{align}
X^\dagger AX&=X^\dagger\lambda X\\
&=\lambda X^\dagger X\quad(式1)
\end{align}

両辺のエルミート共役を取ると、

(X^\dagger AX)^\dagger = (\lambda X^\dagger X)^\dagger\quad(式2)

以下の公式を使用します。

(AB)^\dagger = B^\dagger A^\dagger

(式2)を丁寧に展開すると、

((X^\dagger A)X)^\dagger = (\lambda(X^\dagger X))^\dagger\\
X^\dagger (X^\dagger A)^\dagger = (X^\dagger X)^\dagger \lambda^*\quad(式3)

(式3)の右辺の記号$^*$は複素共役の意味です。$\lambda$はスカラー値なので、エルミート共役を取れない代わりに複素共役を取ります。
よって、(式3)は、

X^\dagger A^\dagger (X^\dagger)^\dagger = \lambda^*X^\dagger (X^\dagger)^\dagger\\
X^\dagger A^\dagger X = \lambda^*X^\dagger X

当然ながら、$(X^\dagger)^\dagger = X$です。
ここで、$A$はエルミート行列なので$A^\dagger =A$を代入すると、

X^\dagger A X= \lambda^*X^\dagger X\quad(式4)

(式1)と(式4)を比較すると、以下のようになります。

X^\dagger AX=\lambda X^\dagger X\quad(式1)\\
X^\dagger AX=\lambda^*X^\dagger X\quad(式4)

これより、以下が導けます。

\lambda = \lambda^*

$\lambda$はスカラー値であるから、上記が成立する条件は、$\lambda$が実数の場合になります。

よって、命題が真である(正しい)ことが確認できました。

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