はじめに
中学三年生に、微分積分を教えることができるか？考え方を伝えることができるか？というトライアルがきっかけで、試行錯誤した経過を記したいと思います。
マインクラフトというゲームを御存じでしょうか？世界で一番売れたゲームであると言われているそうですが。そのマインクラフトというゲーム、四角い立方体のユニットになったブロックを壊したり作ったりすることで冒険を進めていくことになっています。そのブロックで、球を表現できないかというところから球について関心を持つようになりました。また機会がありましたらご紹介させていただきたいとは考えておりますが、コンビナートに置いてあるガスの貯蔵庫のような球体の構築物を作ることにも成功しました。こちらです。
本件は、それほど難しい話ではないので、是非読んでいただけたら嬉しく思います。
それでは始めます。
1.積分編
2.微分編
本来、学校教育であれば、微分を教えてから積分のような順番があると思いますが、
積分を先に教えたほうが、視覚的効果とイメージが結び付きやすいのではないかと思い、積分を先に教えることを前提にしています。
1-1. 球の表面積と体積の計量アプローチ
1-1-1円柱積分法
・正方形の面積
半径rの円に外接する正方形を2r*2rで定義する。
r=1とし、正方形の面積は4となる。
・円の面積率
この時、正方形に円の面積が占める割合は、3.14/4=0.785と求めておく。
つまり、任意の長さの正方形に内接する円の面積が78.5%ですということです。
・円柱の体積
この円の面積をベースに高さを加味して、円柱の体積を求め、高さh分だけ足し合わせていったものが半球の体積であると言えないだろうか。
S(x+h) = lim h->0 V(x+h)-V(x)/h
V(x) = ∫[0-r] (0.785*(x)^2*(4)※1*(h)(2)※2)dx=(23.14*(r^3)/3)=半球の体積
全休の体積を求めるには、2倍して、((43.14r^3)/3)
※1:4 面積比が4倍になるので、4をかけてあげます。
※1:8 体積比が8倍になるので、更に、2をかけてあげます。
※体積比は、一気に8倍してしまっても、小分けにしてかけてあげても結果はイコールになるので問題ありませんが、相似比対体積比の関係をしっかり理解するため、小分けにして書いてあります。
1-1-2表面積積分法(マトリョーシカ法)
ロシアにマトリョーシカという工芸品があります。
大きな人形の中に、小さな人形が入っていて、またその中に小さな人形が入っている。
そういう構造をしたお人形さんです。
その人形をヒントに、球の体積を求めようというものです。
・球の表面積...４πr^2
高さh半径rの円柱の表面積を考える
(2×π×r×r)[天井と底の面積] + (2π×r×h)[側面積] が円柱の表面積になる
S(x+h) = lim h->0 V(x+h)-V(x)/h
∫[0-r] ((4×π×x×x) * h )dx = (4×π×r^3)/3
参考リンク
鈴木貫太郎氏-YouTube
おわりに
球の表面積を求める公式の証明を行わずに、4πr^2であることが前提で話が始まっているので、合理的に説明がつく解説を自分の中で整えていなかった。その部分を補足できるように解説を入れられなかったのが残念だった。
今後の課題
立方体に占める球の体積の関係を解き明かしていくことを考えていく。
謝辞
本テーマの参考になったYouTubeの配信をしてくださった鈴木貫太郎氏、文章構成の参考を示していただいた皆様、陰ながら私の活動を応援してくれている両親に感謝申し上げます。今後ともよろしくお願いいたします。