環境:Unity2021.3.11f1 or Unity2022.3.4f1 で確認
Unityはデフォルトの設定では再生中にスクリプトを編集・保存した場合、「NullReferenceException: Object reference not set to an instance of an object」のエラーが出て進行不能になってしまいます。
「Preferences -> AssertsPipeline -> AutoRefresh」 を 「Enabled Outside Playmode」にする事で、再生を停止した後にコンパイルが走るようになり、再生中にスクリプトを保存しても進行不能にならなくなります。
日本語版UnityのPreferences画面のスクリーンショットを添付します。
※Unity 2018.3では「Preference -> General -> Script Changes While Playing」を「Recompile After Finished Playing」にする事で同じ事ができたようです。