留学帰りのエリートが書くような大層なタイトルになってしまいました。 しかし、留学どころか、英文の数学書など一冊も持っていない私のポエムです。十分な批判精神を持ってお読みください 。ここに書いている内容は、余因子行列、日米版 Wikipedia の差です。
訂正：
この記事は「ポエム」どころではなく、「線形代数を学ぶうえでの重要な注意点」を含んでいます。それを裏付ける偉い先生のコメントを見つけました。この記事の最後にある「追記」をご覧ください。
余因子行列 - Wikipedia(日本語版)
Adjugate matrix - Wikipedia(英語版)
上記の日本語版 Wikipedia の方を一部要約すると、
n次正方行列 A の余因子行列とは、(i, j)成分が (i, j)余因子である行列の転置行列のこと。（本投稿では、以降、定義Ａと称する）
単に (i, j)成分が (i, j)余因子である行列（転置をしない）を「余因子行列」と呼ぶ場合もある。（本投稿では、以降、定義Ｂと称する）
とあります。「厳密さを旨とする数学において、同じ用語で２つの異なる意味があるとは何事か！」、「どちらが正しいのかはっきりしろ！」と言いたくなります。
現在の Wikipedia とは異なり、以前のものは「・・・と呼ぶ場合もある」の近くをクリックすると、英語版の Wikipedia の「Adjugate matrix」にジャンプするようになっていました。こちらの要旨は、次のとおりで、以前も現在も同じ内容です。
The adjugate of A is the transpose of the cofactor matrix C of A,
$\ \mathrm{adj}(\mathbf{A})=\mathbf{C}^\mathrm{T}\ $
他の関連文書とも突き合わせてみると、日米の間で
定義Ａの余因子行列 = Adjugate matrix
であることは間違いなさそうです。
そうなると、定義Ｂの余因子行列は英語版の上記行列 $\mathbf{C}$ を表していることになります。英語版では、$\mathbf{C}$ のことを cofactor matrix と称しています。cofactor = 余因子、matrix = 行列 ですから、単純に訳せば cofactor matrix も「余因子行列」になります。ここから、定義が２種類もあるような混乱が生じているように思われます。
しかし、日本版の google で「余因子行列」を検索してみても、定義Ｂに該当するような検索結果はなかなか出てきません。日本で生活する限り、Wikipedia の例外的な記述はあまり気にすることなく、定義Ａだけに絞って覚えておくのが無難なようです。
また、日本では余因子行列を表す記号は、多くは $\tilde{\phantom{a}}$（チルダ）を使っていますが、英文の検索結果では、 $\tilde{\phantom{a}}$ はなかなか見当たらず、殆どが $\mathrm{adj}$ を使っているようです。
学生時代、最初に余因子行列に出会ったときには、「たった１回の変換でなぜこんなにも複雑な手間を掛けさせるのだ！」と腹立たしかったため、その後、英語版の Wikipedia で $\mathrm{C}$ を介した２段階の定義を見て、「我が意を得たり」の感想でした。しかし、いま思うとどちらにも長短があるようです。手計算で逆行列を求めるとき、メモ用紙上でこの変換操作が必要になりますが、日本方式の方が、頭は疲れますが手順は省けます。
さいごに、日米の差を表にすると次のようになります。
| 名称 | 記号(日) | 記号(米) | 備考 |
|---|---|---|---|
| 元の正方行列 | $\mathrm{A}$ | $\mathrm{A}$ | |
| 余因子 Cofactor |
$\tilde{\mathrm{a}}_{\,ij}$ | $\mathrm{C}_{ij}$ | $(-1)^{i+j}|\mathrm{A}$の$i$行と$j$列を除去$|$ |
| Cofactor-matrix | --- | $\mathrm{C}$ | $i$行$j$列の要素が$\mathrm{C}_{ij}$の行列 |
| 余因子行列 | $\tilde{\mathrm{A}}$, $\mathrm{adj}(\mathrm{A})$ | $i$行$j$列の要素が$\tilde{\mathrm{a}}_{\,j\,i}$の行列。 Adjugate-matrixと同じもの。 |
|
| Adjugate-matrix | $\mathrm{adj}(\mathrm{A})$ | $\mathrm{C}$の転置行列 $\mathrm{C}^{\mathrm{T}}$。 余因子行列と同じもの。 |
|
| 逆行列 Inverse-matrix |
$\mathrm{A}^{-1}$ | $\mathrm{A}^{-1}$ | $\displaystyle\frac{\tilde{\mathrm{A}}}{|\mathrm{A}|}$, $\displaystyle\frac{\mathrm{adj}(\mathrm{A})}{|\mathrm{A}|}$, $\displaystyle\frac{\mathrm{C}^{\mathrm{T}}}{|\mathrm{A}|}$ |
追記：
「線型代数学」（東京大学出版会，足助太郎著）に関する補足事項
上記サイトの中の「よくある・あまりない質問とそれに対する回答 [2022/10/9]」の項に次のような記述があります（太字化は私tsubolaboによります）。
Q : 余因子行列（66頁，定義 2.3.14）の定義が正しくない（転置をとらないのが正しい）のではないか？ [2012/6/18]
A : 和訳の問題が絡むので，まず訳語を用いないで説明します． (i,j)成分が (j,i)余因子であるような行列を adjugate matrix，(i,j)成分が (i,j)余因子であるような行列を cofactor matrixと呼びます． adjugate matrixは adjoint matrixとも呼ばれますが，随伴行列（定義 5.2.1）と紛らわしいので避けることが多いようです． 本書では「余因子行列」で adjugate matrixを指しています（357頁（索引）も参照のこと）． 一方，「余因子」は英語では cofactorなので，「余因子行列」を直訳すると cofactor matrixとなります． その意味では指摘はごもっともです． しかし，調べた範囲では日本語の「余因子行列」は adjugate matrixを指すので，本書でもこれに従いました． 直訳とはずれがありますので，英語の文献を読み書きする際には注意が必要です． [2012/6/18]（同日一部修正）