はじめに
こんにちは、清水です。
秋葉原ロボット部の理論グループでは相対論につづき、つぎの輪読をネット上で行っています。
「量子力学10講 2021 谷村省吾」
本記事は、本の「第４講 行列表示とユニタリ変換と対角化 」 をまとめたものです。
4-1 抽象ベクトルの数ベクトル表示 (P58)
ヒルベルト空間$\mathcal{H}$ の抽象的なベクトル $\ket{\psi}$ に対して 、数ベクトルが定まる。この数ベクトルを$\ket{\psi}$ の表示ベクトルという。
\ket \psi= \sum_r c_r \ket {\chi_r} =(\ket{\chi_1},\ket{\chi_2}, \cdots )
\begin{pmatrix}
c_1 \\ c_2 \\ \vdots
\end{pmatrix}
\dot{=}
\begin{pmatrix}
c_1 \\ c_2 \\ \vdots
\end{pmatrix}
\tag{4.4, 4.5}
抽象ベクトルの内積は表示ベクトルの内積に等しい。
$$\braket{ \theta|\psi}=(\sum_r \bra {d_r \chi_r} )(\sum_s \ket {c_s \chi_s} )=\sum_r \sum_s \braket {d_r \chi_r | c_s \chi_s} $$
$$=\sum_r \sum_s d^*_r c_s \braket { \chi_r | \chi_s} = \sum_r \sum_s d^*_r c_s \delta _{rs}= \sum_r d^*_r c_r \tag{4.6} $$
ノルムの２乗
$$\lVert \ket{\psi} \rVert ^2 = \braket{ \psi|\psi}=\sum_r |c_r|^2 \tag{4.8} $$
任意のヒルベルト空間$\mathcal{H}$は有限次元なら $\mathbb{C^n}$ と同型、無限次元なら $\ell^2$ 空間と同型。
4-2 抽象演算子の行列表示 (P60)
抽象的な演算子が抽象的なベクトルに作用している $\ket{ \theta}= \hat A \ket{ \psi}$ は、具体的な行列が数ベクトルに掛かっている式で表される。
\begin{equation}
\begin{split}
\hat A \ket{ \psi}&=\hat I \hat A \hat I \ket{ \psi} \\
&=(\sum_r \ket {\chi_r} \bra {\chi_r})\ \ \hat A \ \ (\sum_s \ket {\chi_s} \bra {\chi_s}) \ \ \ket{ \psi} \\
&=\sum_r \sum_s \ket {\chi_r} \bra {\chi_r} \hat A \ket {\chi_s} \braket {\chi_s | \psi} \\
&=\sum_r \sum_s \ket {\chi_r} A_{rs} c_s A_{rs}は複素数
\end{split}
\end{equation} \tag{4.9}
ここで $$A_{rs} := \bra {\chi_r} \hat A \ket {\chi_s} \tag{4.10}$$
$$\ket{ \theta}= \hat A \ket{ \psi}=\sum_r \ket {\chi_r} d_r \tag{4.11}$$
$$d_r= \sum_s A_{rs} c_s \tag{4.12}$$
$$\hat A =\hat I \hat A \hat I =\sum_r \sum_s \ket {\chi_r} \bra {\chi_r} \hat A \ket {\chi_s} \bra {\chi_s}
=\sum_r \sum_s \ket {\chi_r} A_{rs} \bra {\chi_s} \tag{4.15} $$
4-3 ユニタリ変換 (P62)
ユニタリ行列の逆行列は簡易に求まる。ユニタリ行列により基底や表示行列を変換する。
$$ \ket {X_s} = \sum_r \ket {X^\prime_r} \braket{{X^\prime_r}|X_s}=\sum_r \ket {X^\prime_r} U_{rs} CONSのユニタリ変換\tag{4.22}$$
$$ U^\dagger U = U U^\dagger = I ユニタリ行列U \tag{4.32}$$
\begin{equation}
\begin{split}
A^\prime_{rs} &= \bra {\chi^\prime _r} \hat A \ket {\chi^\prime _s} \\
&=\sum_p \sum_q \braket {\chi^\prime_r|\chi_p } \braket {\chi_p| \hat A |\chi_q} \braket {\chi_q | \chi^\prime_s} \\
&=\sum_p \sum_q U_{rp} A_{pq} U^*_{sq}
\end{split}
\end{equation} \tag{4.31}
$$A^\prime = UAU^\dagger 表示行列のユニタリ変換 \tag{4.32}$$
4-4 対角化 (P64)
自己共役演算子は対角化可能。
$$\hat A \ket {v^{(s)}_ \lambda}=\lambda \ket {v^{(s)}_ \lambda} \tag{4.33}$$
$$\braket {v^{(r)}_ {\lambda ^ \prime}} |\hat A | {v^{(s)}_ \lambda}= \braket {v^{(r)}_ {\lambda ^ \prime}} |\lambda | {v^{(s)}_ \lambda} =\lambda \braket {v^{(r)}_ {\lambda ^ \prime}| {v^{(s)}_ \lambda}} =\lambda \delta_{\lambda ^ \prime \lambda} \delta_{rs} \tag{4.34}$$
\begin{equation}
\hat A \dot{=} \left(
\begin{array}{ccccc}
\lambda_1 & & & & \\
& \lambda_2 & & 0 & \\
& & \lambda_3 & & \\
& & & \ddots & \\
& 0 & & & \\
& & & & \\
\end{array}
\right) \tag{4.35}
\end{equation}
4-5 トレース (P65)
トレースはCOSNSに依存しない。
$$Tr \ \hat A := \sum_r \braket {\chi_r | \hat A | \chi_r}= A_{11}+A_{22}+A_{33}+\cdots \tag{4.36}$$
(4.10)を利用した。
$$Tr \ (\hat A \hat B) = Tr \ (\hat B \hat A) \tag{4.37}$$
$$Tr\ A^{\prime}=Tr\ (UAU^{\dagger})=Tr\ (AU^{\dagger}U)=Tr\ (AI)=Tr\ A \tag{4.40}$$
$$Tr\ A = \sum^n_{j=1}\lambda_j \tag{4.42}$$
参考資料
量子力学10講 2021 谷村省吾
【付録】 第４講に入るまでの抜粋
2-3 ヒルベルト空間 (P15)
量子力学では、系の状態をヒルベルト空間$\mathcal{H}$のベクトル $\ket{\psi}$ で表す。
ヒルベルト空間とは、ベクトル空間であり、内積が備わっていて、完備であるような集合である。
$$\braket {\chi| \psi} 2つのベクトル\ket{\psi}と\ket{\chi} の内積 \tag{2.3}$$
$$\lVert \ket{\psi} \rVert := \sqrt {\braket{ \psi|\psi}} 長さまたはノルム (norm) \tag{2.13}$$
2-6 量子力学における確率解釈 (P21)
$$\mathbb{P}(\ket \chi ←\ket \psi)= |\braket{\chi|\psi} |^2 ボルンの確率解釈\tag{2.34}$$
2-7 ヒルベルト空間の例 (P22)
例１ $n次元複素ユークリッド空間\mathbb{C^n}$
\braket {\psi_w| \psi_z} :=(w^*_1,w^*_2, \cdots, w^*_n )
\begin{pmatrix}
z_1 \\ z_2 \\ \vdots \\ z_n
\end{pmatrix} \tag{2.37}
例２ 有限ノルムな無限数列空間$\ell^2$
\braket {\psi_w| \psi_z} :=(w^*_1,w^*_2, \cdots )
\begin{pmatrix}
z_1 \\ z_2 \\ \vdots
\end{pmatrix}
例３ $\mathbb{R}上の２乗可積分関数空間 L^2(\mathbb{R})$ １次元空間中を動く粒子の状態を記述
$$\braket {\psi_w| \psi_z} := \int^\infty_ {-\infty} \psi_w(x)^* \ \psi_z(x)dx \tag{2.50}$$
$\psi(x)$ は、波動関数と呼ばれる。粒子が座標 $x$ について $a \leq x \leq b$ の中に見つかる確率は、つぎに等しいと解釈される。
$$\mathbb{P}(a \leq x \leq b |\ \ \psi\ ) = \int^b_a |\psi(x)|^2 dx$$
例4 $L^2(\mathbb{R}^3)$ ３次元空間中を動く粒子の状態を記述
$$\braket {\psi_w| \psi_z} := \iiint^\infty_ {-\infty} \psi_w(x,y,z)^* \ \psi_z(x,y,z)dxdydz \tag{2.60}$$
2-8 基底 (P27)
つぎを満たすベクトルの集合 $\lbrace \ket {\chi_1},\ket {\chi_2}, \cdots \rbrace$ を完全正規直交系（CONS：complete orthonormal system）という。
$$\braket{\chi_r|\chi_s} = \delta_{rs} \tag{2.65}$$
任意のベクトル $\ket \psi$ に対して、
$$\ket \psi= \sum_s c_s \ket {\chi_s} \tag{2.66}$$
両辺に $\bra {\chi_r}$ との内積を施すと
$$\braket{\chi_r|\psi} = \braket{\chi_r|( \sum_s c_s \ket {\chi_s})}=\sum_s c_s \braket{\chi_r|\chi_s}= \sum_s c_s \delta_{rs} = c_r \tag{2.67}$$
\ket \psi= \sum_r c_r \ket {\chi_r} = \sum_r \ket {\chi_r} \braket{\chi_r|\psi} = (\sum_r \ket {\chi_r} \braket{\chi_r)\ |\psi} \tag{2.68}
$$\sum_r \ket {\chi_r} \bra {\chi_r} = I 量子論の大法則 \tag{2.69}$$
$$P_r = \mathbb{P}(\ket {\chi_r} ←\ket \psi)= |\braket{{\chi_r}|\psi} |^2 = |c_r |^2 ボルンの確率解釈 \tag{2.70}$$
$$1= \sum_r P_r \tag{2.71}$$
$$1=\braket{{\psi}|\psi}=\braket{{\psi}|(\sum_r c_r \ket {\chi_r})}= \sum_r c_r \braket {{\psi}|{\chi_r}}= \sum_r c_r c^*_r = \sum_r |c_r|^2 \tag{2.71}$$
3-2 エルミート共役 (P38)
任意のベクトル $\ket{\chi} ,\ket{\psi} \in \mathcal{H}$ に対して、
$$\braket{\chi|{\hat A}\psi} = \braket{{\hat A^\dagger}\chi|\psi} \tag{3.32}$$
を満たすような $\hat A^\dagger$ を、 $\hat A$ のエルミート共役(Hermitian conjugate) という。
3-3 自己共役演算子 (P42) エルミート演算子
$\hat A^\dagger = \hat A$ であれば、$\hat A$ を自己共役演算子 (self-conjugate operator) あるいは、エルミート演算子（Hermitian operator, Hermitian）という。
演算子は作用素ともいう。
$(\hat A^\dagger) _ {lj} = (\hat A)_{jl}^{\ \ \ *}$ であれば、$\hat A$ をエルミート行列という。
3-4 演算子の固有値 (P53)
$$\hat A \ket v = \lambda \ket v\tag{3.57}$$
$ \lambda$ を演算子$\hat A$ の固有値（eigenvalue）、$\ket v$ を固有値 $ \lambda$ に属する固有ベクトル（eigenvector）という。
3-5 自己共役演算子の固有値・固有ベクトル (P48)
自己共役演算子の固有値は実数。異なる固有値に属する固有ベクトルは直交する。
$$\braket {v|v^{\prime}}=0\tag{3.95}$$
3-6 固有値が縮退している場合 (P50)
$$\hat A \ket{ v^{(s)}_{\lambda}} = \lambda \ket {v^{(s)} _\lambda} \tag{3.96}$$
$$\braket{v^{(r)} _ {\lambda}|v^{(s)}_{\lambda}} = \delta _ {rs} (r,s=1,2,...,k)\tag{3.97}$$
任意のベクトル $\ket \psi \in \mathcal{H}$ に対して
$$\ket \psi = \sum_\lambda \sum^k_{r=1} {c^{(r)} _ {\lambda}} \ket v^{(r)}_{\lambda} \tag{3.99}$$
3-7 固有値と測定値の関係 (P53)
$$\mathbb{P}(\hat A = \lambda | \psi)= \sum^k_{i=1}|\braket{v^{(r)}_\lambda|\psi}|^2 ボルンの確率解釈\tag{3.111}$$
【付録】 基本定理たち
$$\ket \psi= \sum_s c_s \ket {\chi_s} \tag{2.66}$$
$$\braket{\chi_r|\psi} = \braket{\chi_r|( \sum_s c_s \ket {\chi_s})}=\sum_s c_s \braket{\chi_r|\chi_s}= \sum_s c_s \delta_{rs} = c_r \tag{2.67}$$
\ket \psi= \sum_r c_r \ket {\chi_r} = \sum_r \ket {\chi_r} \braket{\chi_r|\psi} = (\sum_r \ket {\chi_r} \braket{\chi_r)\ |\psi} \tag{2.68}
$$\sum_r \ket {\chi_r} \bra {\chi_r} = I 量子論の大法則 \tag{2.69}$$
$$A_{rs} := \bra {\chi_r} \hat A \ket {\chi_s} \tag{4.10}$$
$$\ket{ \theta}= \hat A \ket{ \psi}=\sum_r \ket {\chi_r} d_r \tag{4.11}$$
$$d_r= \sum_s A_{rs} c_s \tag{4.12}$$
$$ \ket {X_s} = \sum_r \ket {X^\prime_r} \braket{{X^\prime_r}|X_s}=\sum_r \ket {X^\prime_r} U_{rs} CONSのユニタリ変換\tag{4.22}$$
\begin{equation}
\begin{split}
A^\prime_{rs} &= \bra {\chi^\prime _r} \hat A \ket {\chi^\prime _s} \\
&=\sum_p \sum_q \braket {\chi^\prime_r|\chi_p } \braket {\chi_p| \hat A |\chi_q} \braket {\chi_q | \chi^\prime_s} \\
&=\sum_p \sum_q U_{rp} A_{pq} U^*_{sq}
\end{split}
\end{equation} \tag{4.31}
$$\braket {v^{(r)}_ {\lambda ^ \prime}} |\hat A | {v^{(s)}_ \lambda}= \braket {v^{(r)}_ {\lambda ^ \prime}} |\lambda | {v^{(s)}_ \lambda} =\lambda \braket {v^{(r)}_ {\lambda ^ \prime}| {v^{(s)}_ \lambda}} =\lambda \delta_{\lambda ^ \prime \lambda} \delta_{rs} \tag{4.34}$$
$$Tr \ \hat A := \sum_r \braket {\chi_r | \hat A | \chi_r}= A_{11}+A_{22}+A_{33}+\cdots \tag{4.36}$$