チートシート（テンソル場の変換則）

はじめに

こんにちは、清水です。
意識のモデル化に興味があります。
そこで、物理で外界をどのように数式でモデル化しているかを知るために、相対論の輪読を行っています。
「一般相対性理論を一歩一歩数式で理解する」 2017 石井俊全

本記事は、テンソル場の変換則についてまとめました。

テンソル場の変換則

$e_i$：基底（双対基底は$f^i$）
$x^i$：成分（双対基底の成分は$y_i$）

$a^i_{\ j}$：基底の取り換え行列 $e^{\prime}_ i=a^j_{\ i}e_j$（双対基底の取り替えは、$f^{\prime i}=b^i_{\ j}f^j$）
$b^j_{\ k}$：成分の書き換え行列 $x^{\prime i}=b^i_{\ j}x^j$（双対基底での成分の書き換えは、$y^{\prime}_ i=a^j_{\ i}y_j$）
$a$と$b$は逆行列 （$a^i_{\ j} b^j_{\ k}= \delta^ i_{\ k} $）

	場	テンソルの型(r,s)	変換則	備考
1	スカラー場	(0,0)	$f^{\prime} (x^{\prime i})=f (x^j)$	スカラーは(0,0)テンソル
2	(反変)ベクトル場	(1,0)	$X^{\prime i} =b^i_{\ j} \ X^j$	成分の書き換え
3	共変ベクトル場	(0,1)	$\displaystyle{\frac {\partial f }{\partial x^{\prime i}}=a^j_{\ i}\frac {\partial f }{\partial x^{ j}}}$	(0,0)テンソル場$f$を$x^jで$微分すると共変次数が１増える
4	2階の共変テンソル場	(0,2)	$\displaystyle{\frac {\partial^2 f }{\partial x^{\prime i}\partial x^{\prime j}}=a^k_{\ i} \ \ a^l_{\ j}\ \frac {\partial^2 f }{\partial x^{ k} \partial x^{ l}}}$	P287　$f$の２階微分
5	2階の混合テンソル場	(1,1)	$\displaystyle{\frac {\partial Y^{\prime i} }{\partial x^{\prime k}}=b^i_{\ j} \ \ a^l_{\ k}\ \frac {\partial Y^j }{\partial x^{ l} }}$	P290　(1,0)テンソル場$Y^j$を$x^l$で微分する
6	2階の混合テンソル場	(1,1)	$\displaystyle{\frac {\partial f }{\partial x^{\prime i}}X^{\prime j}=b^j_{\ i} \ \ a^k_{\ l}\ \frac {\partial f }{\partial x^{ k} }X^l}$	P285　(0,1)テンソル場$\frac {\partial f }{\partial x^{ k} }$と(1,0)テンソル場$X^l$の積
7	1階の反変テンソル場	(1,0)	$\displaystyle{\frac {\partial Y^{\prime i} }{\partial x^{\prime k}}X^{\prime k}=b^i_{\ j}\ \frac {\partial Y^j }{\partial x^{ m} }X^m}$	P290　ベクトル場 $Y$ のベクトル場 $X$ に沿った微分。
8	スカラー場	(0,0)	$\displaystyle{\frac {\partial f }{\partial x^{\prime i}}X^{\prime i}=\ \frac {\partial f }{\partial x^{ i} }X^i}$	P285　スカラー場 $f$ のベクトル場 $X$ に沿った微分

$f(x)$：スカラー場、$X(x)$：ベクトル場、$T(x)$：テンソル場

テンソルの縮約と縮合

$T^2_{\ \ 2}(V)$ の元 $T^{ij}_{\ \ kl} e_i \otimes e_j \otimes f_k \otimes f_l$ を、$j,k$について縮約すると

$T^1_{\ \ 1}(V)$ の元 $T^{ij}_{\ \ jl} e_i \otimes f_l$
になる。縮約は(r-1,s-1)テンソルになる

２つのテンソルの積をとったあと、縮約したものをテンソルの縮合と呼ぶ。

テンソルの型

$(r,s)$ テンソルと $(r^\prime,s^\prime)$ テンソルの縮合はつぎのようになる。

$(r,s),(r^\prime,s^\prime)\xrightarrow[テンソル積]{}(r+r^\prime,s+s^\prime)\xrightarrow[縮約]{}(r+r^\prime-1,s+s^\prime-1)$

テンソルの縮合と行列とベクトル

(1)　$S=ae_1 \otimes f^1 + be_1 \otimes f^2 + ce_2 \otimes f^1 + de_2 \otimes f^2 $
　　 ($S^1_1=a,\ \ S^1_2=b,\ \ S^2_1=c,\ \ S^2_2=d$)
(2)　$T=xe_1 + ye_2 $
　　 ($T^1=x,\ \ T^2=y$)
　
$S$の成分の下添字と、$T$の成分の上添字で縮合すると　$(ax+by)e_1 + (cx+dy)e_2$　となる。 　

行列で記述すると

\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
 x \\ y 
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
 ax + by \\ cx+dy 
\end{pmatrix}

参考資料

一般相対性理論を一歩一歩数式で理解する 2017 石井俊全
反変ベクトル・共変ベクトル https://eman-physics.net/relativity/variant.html　
https://ja.wikipedia.org/wiki/テンソルの縮約

付録

テンソル P225 定義3.10

$n$次元線形空間$V$の基底を $e_1,e_2,\cdots,e_n$ とし、双対基底を $f^1,f^2,\cdots,f^n$ とする。$n^{r+s}$ 個の

$ {\overbrace{e_\square \otimes \cdots \otimes e_\square}^{r個}}\ \ \otimes \ \
{\underbrace{f^\square \otimes \cdots \otimes f^\square}_{s個}} $　　　($\square$には1からｎまでの数が入る)
を基底とする $n^{r+s}$ 次元線形空間を、ｒ階反変・ｓ階共変テンソル空間といい、

$T^r_{\ \ s}(V)$ または、$ {\overbrace{V \otimes \cdots \otimes V}^{r個}}\ \ \otimes \ \
{\underbrace{V^* \otimes \cdots \otimes V^*}_{s個}} $ と表す。

$T^r_{\ \ s}(V)$ の元を $(r,s)$ テンソルといい、

$ {T }^{\overbrace{\ i \cdots j}^{r個}} _ {\ \ \ \ \ \ \ {\underbrace{k \cdots l} _ {s個}}}\ \ \ {\overbrace{e_i \otimes \cdots \otimes e_j}^{r個}}\ \ \otimes \ \
{\underbrace{f^k \otimes \cdots \otimes f^l}_{s個}}$
と表される。$ {T }^{\overbrace{\ i \cdots j}^{r個}} _ {\ \ \ \ \ \ \ {\underbrace{k \cdots l} _ {s個}}}$ をテンソルの成分という。

反変ベクトルと共変ベクトル

$V$ は、１階反変テンソル空間$T^1_{\ \ 0}(V)$ で、$V$の元を反変ベクトルと呼ぶ。　$T^i e_i \in V$

$V^{*}$ は、１階共変テンソル空間 $T^0_{\ \ 1}(V)$ で、 $V^*$ の元を共変ベクトルと呼ぶ。　$T_k f^k \in V^*$

テンソル場 P270 定義3.38

座標$(x)$と座標$(x^\prime)$の間に、$x^{\prime i}=b^i_{\ j}x^j$ $(b^i_{\ j}は定数)$という関係がある。
$T$の各点$(x)$での成分 $T^{i \cdots j}_{\ \ \ \ \ \ \ k \cdots l}(x)$

と、各点$(x^\prime)$での成分 $T^{\prime \ i \cdots j}_{\ \ \ \ \ \ \ k \cdots l}(x^\prime)$との間に

$ {T ^ \prime}^{\overbrace{\ i \cdots j}^{r個}} _ {\ \ \ \ \ \ \ {\underbrace{k \cdots l} _ {s個}}}(x^\prime)=\overbrace{ b^i_{\ m} \cdots b^j_{\ n} }^{r個} \ \ {\underbrace{{ a^p_{\ k} \cdots a^q_{\ l}}} _ {s個} }\ \ {T}^{\overbrace{\ m \cdots n}^{r個}} _ {\ \ \ \ \ \ \ {\underbrace{p \cdots q} _ {s個}}}(x)$

という関係があるとき、$T$を$(r,s)$ テンソル場という。

テンソル（物理流）P252 定義3.28

ベクトル $x$ の座標系 $K$ での成分を $x^i$、座標系 $K^\prime$ での成分を、$x^{\prime i}$ とする。任意のベクトル $x$ について、$x^{\prime i}=b^i_{\ j}x^j$、$x^{ i}=a^i_{\ j}x^{\prime j}$ が成り立つような、 $a^i_{\ j}$ 、 $b^i_{\ j}$ が存在している（$a^i_{\ j} b^j_{\ k}= \delta^ i_{\ k} $）。
このとき、数の組 $S^{ \ \ i \cdots j} _{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ k \cdots l}$ と数の組 $S^{\prime \ \ i \cdots j} _{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ k \cdots l}$ の間に

$ {S ^ \prime}^{\overbrace{\ i \cdots j}^{r個}} _ {\ \ \ \ \ \ \ {\underbrace{k \cdots l} _ {s個}}}=\overbrace{ b^i_{\ m} \cdots b^j_{\ n} }^{r個} \ \ {\underbrace{{ a^p_{\ k} \cdots a^q_{\ l}}} _ {s個} }\ \ {S}^{\overbrace{\ m \cdots n}^{r個}} _ {\ \ \ \ \ \ \ {\underbrace{p \cdots q} _ {s個}}}$

という関係があるとき、$S^{ \ \ i \cdots j} _{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ k \cdots l}$ を座標系 $K$ での $(r,s)$テンソルの成分、$S^{\prime \ \ i \cdots j} _{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ k \cdots l}$ を座標系 $K^\prime $ での $(r,s)$テンソルの成分という。